绝大多数实际光学系统的成像是不完善的，像差就是不完善之处的具体表述。像差的种类多，描述复杂，我们不仅仅要从像差的几何意义和表现特点入手，我们还要从像差的理论上深入研究，明确像差的表达式和计算。
像差理论与计算系列（十）-初级像差计算综述
在之前的文章中,我们已对光学系统成像时可能产生的各种像差分别作了讨论。
对于轴对称光学系统,轴上物点成像只产生球差和位置色差。一般对三种色光分别作近轴光线、0.707 带光线和边缘光线的追迹后,就可算出像差值和画出如下图所示的三 色球差曲线。据此可全面判断轴上点像差的校正状况。垂轴平面上近轴轴外点或大孔径小视场系统的轴外点,只要根据轴上点光线的追迹结果，就能通过计算正弦差值来判知其 像质。
远离光轴的点会产生所有像差,因此需对轴外点进行全部像差的计算。这种计算至少应对边缘视场和 0.707视场点进行，每点的孔径取值与轴上点相同。
对于绝大多数能以二级像差表征高级像差的光学系统，以上计算已足够。对于那些不能忽略高级像差的系统，计算的光线数应该有所增加。 一般计算六个视场点，取值为 Kw = -1，-0.85，-0.707，-0.5，-0.3和0。上世纪80 年代以前计算机软、硬件条件还比较差,设计条件十分有限，编制软件时也必须考忠到计算机内存容量、计算时间等限制,一般除Kw =0的轴上点外，每个视场计算十一条子午光线和五条弧矢光线，其孔径取值分别为：
=±1,±0.85,±0.707，±0.5,±0.3,0；
=1,0.85,0.707,0.5,0.3。根据这些详尽的结果,包括沿主光线的细光束像散计算结果，已经能够正确地画出各种像差曲线和对像差校正状况作出全面评价。90年代至今，随着集成电路技术的突飞猛进，,计算机硬件条件发展非常迅速，因此现代光学设计软件已不再局限于几何像差和简单的少量波像差,而是通过密集取样光线追迹来评价光学系统的质量,包括几何像差、波面、光学传递西数在内的各种评价指标都可以迅速获得。
无论使用什么样的光学设计软件，在设计光学系统时,要得到像差获得最佳校正的良好设计结果，都必须对系统的结构参数反复修改。光学自动设计软件的应用只是加快了这一修改进程，但不可能跨越它。同时，软件作为一种工具是要由人来使用的，自动设计过程中人的干预仍然不可避免，并且在多数情况下还起决定性的作用。由于一般的光学系统，当其结构型式一定时，结构参数的改变对高级像差的影响很小,所以，了解初级像差特征对于设计者来说具有重要意义。由之前的问问张已经知道，光学系统的七种初级像差，分别被七个和数所决定。将它们的计算公式汇总如下：
在上述公式组中，以x’sp表示像散和以x’p表示像面李曲，是为了使它们在形式上与其它公式相一致。从意义上讲x’sp即弧矢像面相对于匹兹凡面的弯曲，它的存在标志着像散的存在，它的二倍就是像散值。同样弧矢和子午像面弯曲分别为x’sp+x’p和3x’sp+x’p。
可见，初级像差的表示式在形式上甚为一致,便于记忆。在公式的分母中，凡属垂轴方向度量的像差，u’因次都是一次;凡属沿轴方向度量的像差，u’都是二次。轴向像差反映到高斯像面时，成一弥散斑。对此弥散斑的大小进行度量,即得到与该轴向像差对应的垂轴像差。如果我们统一把像差都在垂轴方向度量,将会发现各种像差与孔径和视场之间，有着很有规律的比例关系如下：
可见,对于单色初级像差,与之成比例的孔径u和视场 W 的因次之和均为三次，所以在有些文献中，把初级像差称作三级像差。与此相应，二级像差称作五级像差。
计算初级像差，只需对第一近轴光线和第二近轴光线进行追迹,然后逐面计算其像差分布系数,SⅠ,SⅡ…,SⅤ和CⅠ，CⅡ。但必须指出，在计算这些系数时，有二种情况是值得注意的，即
1.1=r,即第一近轴光线正好过球面的球心时。此时i=0,因此
但其它系数并不为零。除
可按原公式计算外，
需另用公式计算。可导出
2. r=∞,1=∞,而
为定值时。此时也相当于i=0,应有
另外参照上述公式1,还应有
而
可按上述公式2、3求得。
相关文献：
《几何光学 像差 光学设计》（第三版）——李晓彤 岑兆丰
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