本文通过之前讲的高阶双曲面及其曲面法线的方向余弦的公式来推导在近轴近似时，双曲面的一般式及其曲面法线的方向余弦。
变形系统系列（五）-近轴近似的双曲面及其曲面法线
在我们之前的讨论中一般双曲面的四阶近似矢高方程方程如下
而这次我们讨论的是一般双曲面方程的近轴近似及其曲面法线的方向余弦。
通过忽略高于3阶的项，我们可以将如上的一般的双曲率曲面矢高方程重写为
这个方程表明矢高z是在x和y中的一个二阶量，且此处的x和y是在一阶近似下可以忽略的，所以在近轴近似的区域，我们可以得到
这意味着在近轴近似的区域，表面矢高可以忽略不计。
但是，我们仍然需要记住的是，即使在近轴域表面矢高可以取为零，但其表面仍然拥有曲率，因此它依旧拥有折射光线的能力，因此我们在计算曲面法线在近轴区域的余弦方向上不能直接使它为0，而是需要使用上面忽略高于3阶项的一般式。
为求曲面法线在近轴区域的方向余弦，可将上面忽略高于3阶项的一般式改写为
将上述二阶曲面方程代入我们之前求得的一般曲面法线的方向余弦的式中，
并且忽略x和y中任何高于1阶的项，我们就可以得到一般双曲面在近轴区域的三个法向量为如下公式
而其中
是曲率，是两个主要部分。
相关文献：
《几何光学 像差 光学设计》（第三版）——李晓彤 岑兆丰
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