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模态空间系列（七十五）趣味解读模态世界-模态空间中单自由度是如何跟物理响应联系起来的？我依然感到困惑

发布时间：2022-05-26 13:35:22 浏览量：1927 作者：Peter Avitabile

摘要

模态空间是Peter Avitabile教授发表的系列模态解读文章。Peter Avitabile教授是美国麻省大学洛威尔校区UMASS Lowell机械工程系结构动力学和声学系统实验室的副主任，以及模态分析和控制实验室的主任。Peter Avitabile教授以略带口语化、生动而又幽默的语言，在每篇文章中集中介绍试验模态分析的一个主题，是非常好的试验模态分析的入门文章。它涉及到了试验模态分析的方方面面，是模态试验新手的入门极佳材料，学习它有助于理解什么是试验模态，以及取得高质量的模态参数。

在北京科尚仪器官网发布模态空间系列文章及其中文翻译，得到了Peter Avitabile教授的书面授权，Peter Avitabile教授拥有文章全部权利，北京科尚仪器只为学习教育目的而使用它们。如您转载此系列中文翻译，请保留本段的描述信息。

关键词

正文

模态空间系列（七十五）趣味解读模态世界-模态空间中单自由度是如何跟物理响应联系起来的？我依然感到困惑。

模态空间中单自由度是如何跟物理响应联系起来的？我依然感到困惑。

这需要讨论。

嗯 – 这是一个概念，实际上非常简单，但确实需要一些解释来保证正确地理解它。我们首先从几个综合方程入手，在前面的文章中我们曾经多次展示过。当然，出发点是矩阵形式的运动方程

接下来通过特征值求解将这个耦合的矩阵方程组解耦。根据特征解得到模态向量组，根据模态向量组得到模态变换方程。利用模态向量的集合[U] $[U]$ ,物理坐标 $x$ 跟模态坐标 ${p}$ $p$ 联系起来

\left \{ x \right \}=\left [ U \right ]\left \{ p \right \}=\left \{ u_1 \right \}p_{1}+\left \{ u_2 \right \}p_{2}+\left \{ u_3 \right \}p_{3}+\,\cdots

${x}$

将它代入物理方程，并左乘投影算子[U] $[U]$ 的转置，在模态空间中最后会得到非常简单的对角矩阵方程组，其中每个方程（模态振子）相互正交且线性独立（解耦的），如下所示

\begin{bmatrix} \bar{m}_1 & & \\ &\bar{m}_2 & \\ & &\setminus \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} \ddot{p}_1\\ \ddot{p}_2\\ \vdots \end{Bmatrix}+\begin{bmatrix} \bar{c}_1 & & \\ &\bar{c}_2 & \\ & &\setminus \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} \dot{p}_1\\ \dot{p}_2\\ \vdots \end{Bmatrix}+ \begin{bmatrix} \bar{k}_1 & & \\ &\bar{k}_2 & \\ & &\setminus \end{bmatrix}\begin{Bmatrix} {p}_1\\ {p}_2\\ \vdots \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} \left \{ u_1 \right \}^{T}\left \{ F \right \}\\ \left \{ u_2 \right \}^{T}\left \{ F \right \}\\ \vdots \end{Bmatrix}

关于这个方程，有非常重要的几件事情值得关注。并且模态振型矩阵

[U][U]与此有很大关系。

首先，对于每阶特定的模态，每个方程仅仅含有一个变量 – 模态位移来描述各自的方程。第二，每个方程跟其他方程彼此解耦。第三，从根本上讲，每个方程是一个非常简单的单自由度（SDOF）系统。第四，方程右侧根据施加到物理系统上的作用力，确定出分配到模态振子上的力。图1展示了一个多自由度系统（MDOF）的示意图，其中在物理模型中存在着自由度之间的耦合，在模态空间中最终得到的一组等效的单自由度系统代表模态系统。

图1 – 多自由度系统简图及等效单自由度

所以如果我们根据模态空间的形式写出任意一个方程，用“i”标注第“i”个方程的下脚标，可以得到

\bar{m}_{i}\ddot{p}_{i}+\bar{c}_{i}\dot{p}_{i}+\bar{k}_{i}{p}_{i}=\left \{ u_i \right \}^{T}\left \{ F \right \}=\bar{f}_i

所以利用这个简单的单自由度方程，我们可以计算施加到等效系统上任意的力引起的响应。当然我们可以看到方程的右侧确定了经由模态振型有多少力从物理空间被分配到了等效的模态系统。利用这个力，接下来可以确定等效系统的响应。可以根据任何一本振动教科书求出这个响应–对于自由响应，强迫正弦响应或任意输入响应，这通常是大多数教科书前四章中的一章。这里讨论的缘故，我们假设在物理系统的某一个点上施加了一个冲击。

现在这个物理作用力将分配到模态空间中的每个模态自由度上。所以如果我们观察第1阶模态，我们可以计算出描述1阶模态的单自由度的脉冲响应。接着利用模态变换方程，将这个单自由度响应分配到所有物理自由度上；这本质上是利用每个自由度位置的第1阶模态振型的值，将单自由度的响应换算到所有物理自由度。示意图如图2所示（仅有几个自由度来说明概念）。现在仅提供了物理系统的响应部分，它与1阶模态所做的贡献相关，遍及系统中的所有物理自由度；与1阶模态相关的响应部分如蓝色所示。

图2 – 1阶模态贡献的响应示意图

这不是系统的全部物理响应 – 它仅仅是与1阶模态相关的响应部分。现在也需要包含其他阶模态的贡献。如果我们观察第2阶模态，利用分配到2阶模态的力，可以计算出描述2阶模态的单自由度的脉冲响应。同样利用第2阶模态振型，这个2阶模态的单自由度响应也需要被分配到全部物理自由度上；这仅仅代表与系统第2阶模态相关的响应部分。如图3所示（仅有几个自由度来说明概念）；与2阶模态相关的响应部分如红色所示。

图3 – 2阶模态贡献的响应示意图

对于物理系统的全部响应有贡献的所有阶模态，这个过程接着继续下去。当然，你必须包含对全部响应有贡献的所有阶模态，否则会丢掉某些个解。整个过程在图4中看得很清楚。这幅图展示了物理方程、模态变换方程，它允许耦合的物理系统写成模态空间中一组等效的单自由度系统，模态空间中等效的模态力作用到所有的模态振子之上。重要的是认识到每阶模态都线性独立于其他阶模态，但总体响应是由参与系统响应的所有阶模态的线性组合所构成。

图4 – 模态空间表示的总概

我希望这个解释有助于你理解，根据模态空间响应，物理空间中单自由度响应具有怎样的特征。如果你有关于模态分析的任何其他问题，尽管问我好了。

模态激励全新的解决方案-WaveHitMAX自动脉冲锤

实验模态分析中必不可少的一环就是模态激励，昊量光电最新推出的这款智能冲击锤的发明为结构动力学应用提供了机械激励的新途径。智能意味着设备内部处理信号。模态锤WaveHitMAX保证了测试对象的全自动、可重复和高精度激励，而没有双重打击。用户可以根据不同的阻尼/延迟时间，设置撞击次数、冲击力和撞击之间的延迟时间。所有的预置，如零点或冲击力搜索，都是由锤子自动完成的。用户不再需要手动调整。

针对全自动冲击锤的研制，WaveHitMAX采用包括整个运动控制的闭环控制方法解决了这一问题。

图1. 用于脉冲锤内部运动控制的传感器-执行器控制回路示意图

对新型冲脉冲锤WaveHitMAX的系统设计进行了改进，使传感器信号作为运动控制单元的主要输入参数。这样，脉冲锤的手臂可以向上移动到试件的命中点，在那里，通过力传感器信号中的特征变化检测到接触事件，手臂的移动方向可以反转。

与半自动冲击锤相比，WaveHitMAX自动脉冲锤具有新的功能。内部信号处理的优点有:

• 全自动单击

• 自动搜索用户自定义的冲击力

• 自动零点搜索

• 确认对质量保证的影响

• 更改锤头与测试对象之间的位置，无需重新设置

WaveHitMAX自动模态力锤可以通过以太网在Windows设备(PC或平板电脑)上通过包含的软件快速、轻松地操作。

自动模态脉冲锤特点：

• 自动零点搜索

• 可重复的单击激发

• 内部传感器评估和过程控制

• 自动搜索和调整冲击力

• 位置的变化是自动预测的

• 通过附件配置脉冲特性

• 通过远程控制或集成到客户系统中来触发功能

• 在德国设计和组装

• CE认证

1.确保单次激发

双重撞击激励可以在时域和频域检测到

2.丰富的配件支持

不同的传感器-尖端-配重的组合。

综述上文介绍WaveHitMAX - 第一款用于全自动冲击测试的智能脉冲锤，在全新的AI智能脉冲领域实现真正意义上的全自动智能脉冲锤！

如果您对WaveHitMAX-全自动冲击测试的智能脉冲锤有兴趣，请访问上海昊量光电的官方网页：

https://www.auniontech.com/details-1495.html

关于Gfai tech

Gfai tech GmbH一直在生产和销售"德国制造"的声音和振动测量和分析创新产品超过15年。作为应用计算机科学促进会（GFai）的100%子公司，它始终以行业为导向和以应用为导向。

Gfai tech以第一台模块化和灵活的声学摄像机而闻名，用于声源的定位，可视化和分析。如今，该产品组合还包括实验模态分析的创新以及用于监测、分析和评估声学测量数据的完整软件解决方案。我们的测量解决方案应用于汽车、工业、空中交通、火车交通和研发领域的降噪、错误检测和声音设计。

上海昊量光电作为gfai tech公司在中国大陆地区独家的代理商，为您提供专业的选型以及技术服务。对于WaveHitMAX-全自动冲击测试的智能脉冲锤有兴趣或者任何问题，都欢迎通过电话、电子邮件或者微信与我们联系。

关于昊量光电：

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您可以通过我们昊量光电的官方网站www.auniontech.com了解更多的产品信息，或直接来电咨询4006-888-532，我们将竭诚为您服务。

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