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筑基:斯坦福 线性动力系统导论——第二课

发布时间:2022-04-08 11:05:24 浏览量:1206 作者:LY.Young 光学前沿

摘要

Lecture 2

线性函数和例子

线性方程和函数

工程例子

解释


关键词

正文


筑基:斯坦福 线性动力系统导论——第二课

1Lecture 2 线性函数和例子

●线性方程和函数

●工程例子

●解释


2线性方程

考虑一个线性方程描述的系统

可以写成y=Ax的矩阵形式


3线性函数

函数f : Rn → Rm是线性的,当

f(x + y) = f(x) + f(y), ∀x,y∈Rn

f(αx) = αf(x), ∀x∈Rn∀α∈R


4矩阵乘法函数

●考虑函数f : Rn → Rm,f(x)=Ax,其中A∈Rm×n

●矩阵乘法函数是线性的

●逆命题也成立:任何线性函数f : Rn → Rm 可以写为

       f(x) = Ax ,A∈Rm×n

●通过矩阵乘法唯一表示:对任意的线性函数f,对于所有的x满足f(x)=Ax,存在唯一的矩阵A


5y=Ax的解释

●y代表测量或观察,x是需要确定的未知

●x是输入或行为,y是输出或结果

●y=Ax定义了一个函数或变换,其将x∈Rn 映射到y∈Rm


9aij的解释

aij是从第j个输入(xj)到第i个输出(yi)的增益系数

所以,

●A的第i行涉及第i个输出

●A的第j列涉及第j个输入

●a27=0意味着第2个输出(y2)不取决于第7个输入(x7)

●|a31|>>|a3j|,当j≠1意味着y3仅仅取决于x1

●|a52|>>|ai2|,当i≠5,意味着x2主要影响y5

●当A是下三角矩阵,即当i

●当A是对角矩阵时,即i≠j时,aij=0,意味着第i个输出只取决于第i个输入


10线性弹性结构

●xj是作用在某个节点上的外部施加力,方向固定

●yi(很小)是某个节点在外部施加力下产生的挠曲,方向固定

(考虑到x,y都很小),可以得到y≈Ax

●aij给定了在j处每单位力(m/N)产生的挠曲i


11刚体上的合力/扭矩

●xj是施加在某一点/方向/轴上的外部力/扭矩

●y∈R6 是刚体上产生的合力&扭矩

     (y1,y2,y3是x-,y-,z-分量的合力,

        y4,y5,y6是x-,y-,z-分量的合扭矩)

●有y=Ax

●A取决于几何形态(相对于重心CG施加的力和扭矩)

●第j列给出单位力/力矩的合力合扭矩


12线性静态电路

电阻、线性依赖(被控制的)源和独立源的连接

●xj是第j个独立源

●yi是一些电路变量(电压,电流)

●有y=Ax

●如果xj是电流,yi是电压,A则称为阻抗或电阻矩阵


13在外部力作用下物质的最终位置/速度

●单位质量物质,在t=0的时候处于0位置/速度,在0≤t≤n受到力f(t)

●f(t)=xj,j-1≤t

●y1,y2是最终的位置和速度(在t=n时刻)

●有y=Ax

●a1j是在j-1≤t

●a2j是在j-1≤t


14热系统

●xj是第j个加热元件或热源的功率

●yi是位置i处稳态温度的变化

●通过热传导完成热传输

●y=Ax

●aij表示位置i处热源j的影响

●A的第j列给出热源j在1W功率时稳态温度上升的模式

●A的第i行表示各个热源对位置i的影响


15多个光源照明

●n个光源照射m个小而平的块(patch),无阴影

●xj是第个光源的功率,yi是第i个块的照明水平

●y=Ax,aij=rij-2max{cosθij,0}

  (cosθij<0意味着第i个块与光源j之间是遮挡的)

●A的第j列描述光源j的照明模式


16无线系统中的信号和干扰功率

●n个发射器/接收器对

●发射器j向接收器i发送(并且不经意间发送到其它接收器)

●pj是第j个发射器的功率

●si是第i个接收器接收到的信号功率

●zi是第i个接收器接收到的干扰功率

●Gij是从发射器j到接收器i的路径增益

●有s=Ap,z=Bp,其中


17生产成本

生产投入(材料、零件、劳动力......)组合起来制造一系列产品

●xj是每单位生产投入j的价格

●aij是制造单位产品i所需要的生产投入j的单位量

●yi是每单位产品i需要的生产成本

●有y=Ax

●A的第i行是生产单位产品i所需的材料账单

生产所需投入

●qi是要生产产品i的量

●rj是生产所需输入j的总量

●有

      总生产成本为


18线性化

●如果f : Rn → Rm,在x0∈Rn可微,则

       x在x0附近⇒f(x)很接近f(x0)+Df(x0)(x-x0),其中

   

      是导数(雅可比)矩阵

●y=f(x),y0=f(x0),定义输入偏差(derivation)δx:=x-x0,输出偏差δy:=y-y0

●有δy≈Df(x0)δx

●当偏差很小的时候,用一个线性函数将它们(δx和δy)近似联系起来


19通过距离测量来导航

●(x,y)是平面上的未知坐标

●(pi,qi)是已知的信标(beacons)坐标,i=1,2,3,4

●ρi测量从信标i到未知点的距离

●ρ∈R4是(x,y)∈R2的一个非线性函数:

●在(x0,y0)附近作线性化:

        其中,

●A的第i行显示(x, y)从(x0, y0)的(小)偏移距离测量的(近似)变化 

●A的第一列表示距离测量对x从x0的(小)变化的敏感性 


20广泛的应用类别

线性模型或函数y=Ax

一些更广泛的应用类别:

●估算或求逆

●控制或设计

●映射或变换


21估算或求逆

●yi是第i个测量或传感器读取(已知的)

●xj是第j个需要估算或确定的参数

●aij是第i个传感器对第j个参数的灵敏度

问题示例:

●给定y,确定x

●找到导致y的所有x

●如果没有x满足y=Ax,则,找到x满足y≈Ax


22控制或设计

●x是设计参数向量或输入向量

●y是结果向量或输出

●A描述输入选择如何影响结果

问题示例:

●找到x,使得y=ydes

●找到导致y=ydes的所有x

●在满足y=ydes的x中,找到最小的那个


23映射或变换

●x由线性函数y=Ax映射或变换到y

问题示例:

●确定是否存在x映射到给定的y

●(如果可能)找到映射到y的x

●找到映射到给定y的所有的x

●如果只有一个x映射到y,找到它(即解码或撤销映射)


24矩阵乘法作为列的混合

将A∈Rm×n写为列的组成:

其中aj∈Rm

y=Ax可以写为

(xj是标量,aj是m向量)

●y是A的列的线性组合


25一个重要的例子:x=ej,第j个单位向量

那么Aej=aj,A的第j列


26矩阵乘法作为与行的内积

将A写为行向量混合的形式:

其中

那么y=Ax可以写为

即yi是A的第i行和x的内积

几何解释:

是Rn上的一个超平面(垂直于对应列向量)


27框图表示

y=Ax可以用信号流图或框图表示

例:m=n=2,有

框图表示为

●aij是从j输入到i输出的增益

例子:块上三角矩阵

x和y相应的分块

其中

从而

框图表示为:

即y2不取决于x1


参考文献:Introduction to Linear Dynamical Systems. Stephen Boyd


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