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筑基:斯坦福 线性动力系统导论——第一课

发布时间:2022-04-07 17:39:05 浏览量:1524 作者:LY.Young 光学前沿

摘要

Lecture 1

概览

预备知识

主题和大纲

什么是线性动力系统

为什么要研究线性系统

一些例子


正文


筑基:斯坦福 线性动力系统导论——第一课

1Lecture 1 概览

●预备知识

●主题和大纲

●什么是线性动力系统

●为什么要研究线性系统

●一些例子


2预备知识

●了解线性代数

●了解Laplace变换,微分方程

不需要,但是有助于理解的有:

●控制系统(control systems)

●电路&系统(circuits & systems)

●dynamics


3主题和大纲

●线性代数&应用

●自治线性动力系统(autonomous linear dynamical systems)

●有输入输出的线性动力系统

●基本二次控制和估计(basic quadratic control & estimation)


4线性动力系统

连续时间动力系统(continuous-time linear dynamical system,CT LDS)的形式为:

其中:

●t ∈ R表示时间 

●x(t)∈ Rn是状态(state,是向量)

●u(t)∈ Rm是输入或控制

●y(t)∈ Rp是输出

●A(t)∈ Rn×n 是动态矩阵(dynamics matrix)

●B(t)∈ Rn×m 是输入矩阵

●C(t)∈ Rp×n是输出矩阵或传感器矩阵(sensor matrix)

●D(t)∈ Rp×m 是馈通矩阵(feedthrough matrix)

方程可以简写为

● CT LDS 是一阶矢量微分方程

●也被称为状态方程(state equations)或”m-输入,n-状态,p-输出”LDS


5一些LDS术语

●通常遇到的线性系统大多是时不变的:A,B,C,D为常量,即与时间t无关

●当没有输入u(因此,没有B或D)的系统被称为自主的(autonomous)

●大多数时候没有馈通,即D=0

●当u(t)和y(t)是标量时,系统被称为单输入,单输出的(single-input,single-out,SISO);当输入和输出信号维度大于1时,称为MIMO(multi-input,multi-out)


6离散时间线性动力系统

离散时间线性动力系统(discrete-time linear dynamical system, DT LDS)的形式为

●t ∈ Z = { 0, ± 1, ± 2,.. . }

●(向量)信号x, u, y是序列(sequences)

DT LDS是一阶矢量递归(recursion)


7为什么研究线性系统?

●许多领域涌现出了应用,如:

●自动控制系统

●信号处理

●通讯

●经济、金融

●电路分析、仿真、设计

●机械和土木工程

●航空学

●导航、引导


8LDS的用处

●取决于可用的算力,所需算力很大且呈指数增长

●被用于

 -分析和设计

 -执行,嵌入到实时系统里


9起源和历史

●LDS的部分理论可追溯到19世纪

●基于经典电路和系统(1920年代),但是更强调线性代数

●第一个工程应用:1960年代的航空航天

●1980年代从特别话题过渡到无处不在(就像数字信号处理,信息论等一样)


10非线性动力系统

既然许多动力系统是非线性的,为什么研究线性系统?

●用于非线性系统的大多数技术是基于线性方法的

●如果不理解线性动力系统,那你也不可能理解非线性动力系统


11例子(示意,无细节)

●考虑一个特定的系统

x(t) ∈ R16 , y(t) ∈ R (一个16个状态一个输出的系统)

典型的输出为

●输出的波形很复杂,看起来几乎是随机且很难理解

●这种解可以被分解为更简单的成分


12输入设计

增加两个输入,两个输出到系统里:

其中,B∈ R16×2, C ∈ R2×16(A与上同)

问题:找到合适的u : R+ → R2 所以 y(t) → ydes = (1, −2)

简单方法:考虑静态条件(u,x,y是常量):

得到u的解为:

直接应用u=ustatic,只需等待事情解决:

y(t)收敛到ydes耗时约1500s

使用更聪明的输入波形可以收敛更快,如:

耗时约50s

在这个课程我们将研究

●如何合成或设计这样的输入

●u的大小和收敛时间之间的平衡


13估计(estimation)/滤波(filtering)

●信号u是分段常量(周期1s)

●被2阶系统H(s)过滤,step response s(t)

●A/D 10Hz,3-bit数字化

问题:给定数字化滤波后的信号y,估计原始信号u

简单方法:

●忽略数字化

●设计均衡器(equalizer) G(s),即GH≈1

●近似u为G(s)y

...产生难以接受的结果


参考文献:Introduction to Linear Dynamical Systems. Stephen Boyd


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