筑基：斯坦福 线性动力系统导论——矩阵运算
1矩阵运算
●置，和，差，数乘
●矩阵乘法，矩阵-向量积
●矩阵求逆
2矩阵转置(matrix transpose)
m X n的矩阵A的转置，记为AT或A’，A的转置矩阵大小为n X m
A的行和列都颠倒过来就是AT，例子：
●转置将行向量变成列向量，反之亦然
●(AT)T=A
3矩阵加法&矩阵减法
如果矩阵A和矩阵B大小都为m X n，A+B通过对应元素相加完成，例子：
矩阵减法类似：
（注意，根据此处语义，单位矩阵I的大小为2 X 2）
4矩阵加法的特性
●交换律：A+B=B+A
●结合律：(A+B)+C=A+(B+C),所以可以写为A+B+C
●A+0=0+A=A;A-A=0
●(A+B)T=AT+BT
5纯量乘法(Scalar multiplication)
一个数(标量，或纯量)与一个矩阵相乘，通过这个数与矩阵内的每一个元素相乘完成
数乘将标量和矩阵毗邻表示或者用“·”连接表示：
●(α+β)A=αA+βA; (αβ)A=(α)(βA)
●α(A+B)=αA+αB
●0·A=0; 1·A=A
6矩阵乘法
如果A大小为m X p，B大小为p X n，则可令C=AB，C的大小为m X n
矩阵A和矩阵B能相乘的前提是A的列数必须等于B的行数
7例子
例1：
例2：
矩阵乘法一般是不可交换的，即AB一般不等于BA
8矩阵乘法的特性
●0A=0，A0=0(此处的0可以是标量，也可以是矩阵)
●IA=A，AI=A
●(AB)C=A(BC),也可写为ABC
●α(AB)=(αA)B,α是标量
●A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC
●(AB)T=BTAT
9矩阵-向量积
矩阵乘法非常重要的特例是：y=Ax
●A是m X n矩阵
●x是n-向量
●y是m-向量
y=Ax可被认为是
●一个将n-向量转换为m-向量的函数
●一组将x和y联系起来的m个线性方程
10内积
当ν是含n个元素的行向量，ω是含n个元素的列向量时，νω就有意义，且是一个大小为1 X 1的标量：
元素数相同的向量x和y，xTy是标量，称为x和y的内积或点积，记为
11矩阵幂
当矩阵A是方阵的时候，积AA有意义，通常记为A2，k个A相乘记为 Ak
按照惯例，A0=I
AkAl=Ak+l
12矩阵求逆
如果矩阵A是方阵，存在方阵F使得FA=I，则
●F称为A的逆，记为A-1
●矩阵A称为可逆的或非奇异的
如果A不存在逆，则称为奇异的或不可逆的
AA-1=I
A的负数幂定义为A-k=(A-1)k
13例子
例1：
例2：
没有逆。假设其存在逆，则有
而满足a-2b=1和-a+2b=0的a,b无解
14逆的特性
●(A-1)-1=A,即逆的逆是原矩阵(假设A是可逆的)
●(AB)-1=B-1A-1(假设A和B都可逆）
●(AT)-1=(A-1)T(假设A是可逆的)
●I-1=I
●(αA)-1=(1/α)A-1(α≠0) (假设A是可逆的)
●如果y=Ax，x∈Rn,A是可逆的，则x=A-1y:
15 2 X 2矩阵的逆
知道2 X 2矩阵的逆的一般公式是有用的：
ad-bc≠0（如果ad-bc=0，则矩阵式奇异的）
参考文献：Introduction to Linear Dynamical Systems. Stephen Boyd
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