本文提出了基于非线性zui小二乘拟合算法的仪器矩阵偏振定标方法。该方法将描述定标单元的参量和仪器矩阵的所有矩阵元一起作为未知参数，根据偏振光学传输理论建立探测光强与未知参数的函数关系式；然后，基于非线性zui小二乘拟合方法拟合实际探测光强随定标单元方位角的变化曲线，进而得到斯托克斯椭偏仪的仪器矩阵。
椭偏仪与偏振相位（十）- 仪器矩阵的非线性zui小二乘拟合定标原理
图1为斯托克斯椭偏仪仪器矩阵的定标光路示意图。光源发出的光束经过定标单元(起偏器和1／4波片组合)后，由斯托克斯椭偏仪探测得到4个光强，记为
设定入射光的归一化斯托克斯矢量为
根据偏振光传输理论，探测光强Iout。与入射光的斯托克斯参数Sin有如下关系：
其中：
为系统透射率，X为被测斯托克斯椭偏仪的仪器矩阵，Mwp和MP分别为定标单元中波片和起偏器的Mueller矩阵，
和
分别是偏振片和波片的方位角，
为波片的相位延迟。
图1 斯托克斯椭偏仪仪器矩阵定标光路示意图
非线性zui小二乘拟合方法中被拟合参数的选择如下：
(1)选用消光比大于10000：1的起偏器，可以认为起偏器是完美的，此时入射光的圆偏振分量不影响实际定标。因此，仅选择入射光的斯托克斯参数中两个线偏光分量S1和S2作为未知参数即可；
(2)校准过程中，波片快轴相对于起偏器透射光轴存在的误差为
。此外，由于制造误差，定标单元的波片可能并非精确的1／4波片。假设波片的相位延迟为δ，非线性zui小二乘拟合定标中将
和δ作为未知参数；
(3)系统透射率
和仪器矩阵X的15个矩阵元作为未知参数。
zui终，公式(1)写为：
定标单元中，起偏器和波片分别以步长Δθ=45°独立旋转，获得64组调制偏振态，斯托克斯椭偏仪探测得到64组光强，记为
利用非线性zui小二乘拟合方法求解公式(2)中的所有未知参数，拟合函数如式(3)所示，其中i代表每一组光强的个数。由matlab库函数lsqcurvefit拟合得到所有未知参数，从而获得斯托克斯椭偏仪的仪器矩阵X。
非线性zui小二乘拟合方法的困难在于拟合初值的选择。如参数较多，全局优化时不同的拟合初值可能会有不同的拟合结果。尽管还有诸如蒙特卡洛法、遗传算法、RBF神经网络、支持向量机等算法，可以用来寻找全局zui小值，但这些算法不是非常复杂，就是非常费时，效果并不如意。因此，寻找一组合适的初值使得本文所用的非线性zui小二乘拟合偏振定标方法的拟合结果接近于真实状态，对于斯托克斯椭偏仪的偏振定标有重要价值。
一般情况下，理想的斯托克斯椭偏仪的仪器矩阵X的每一行代表斯托克斯椭偏仪的一个偏振状态，该偏振态可以由归一化的Stokes矢量描述，即：
其中：β∈[一45°，45°]，
∈[-90°，90°]代表偏振空间所有可能的偏振态。本实验中所选的拟合初值如公式(5)所示。然后利用随机模拟的方法，随机模拟给出可能的斯托克斯椭偏仪拟合参数的真值，利用式(5)的拟合初值做非线性zui小二乘拟合，求解得到的拟合参数与模拟真值之差定义为参数拟合误差。通过1000次模拟，分析参数拟合误差的大小以判断所选的拟合初值是否满足要求。公式(6)为模拟真实值的选择范围，几乎涵盖了各种可能的偏振定标系统状态。
图2为随机模拟结果，1000次模拟中仪器矩阵的拟合误差在1*10-3，由此可见本文使用的非线性zui小二乘拟合方法及初值的选择是有效的。
该方法将传统方法的误差源(入射光的斯托克斯参数、波片的方位角误调和相位延迟)作为未知参数随仪器矩阵一起由非线性拟合求解，避免了这些误差源引起的测量误差。
图2 非线性拟合方法的误差估计
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