在均匀介质中，一条射线，简单的表示式就是是它的方向余弦。本次我们先介绍基础的射线的方向余弦及其傍轴近似。它是一阶理论的基础，而一阶理论是理解变形系统的基础。
变形系统系列（二）-射线的方向余弦及其傍轴近似
在均匀介质中，一条射线，简单的表示式就是是它的方向余弦。假设我们有一个原点为O的笛卡尔坐标系，如下图所示。通过点O，我们可以画一条平行于指定方向的射线的线。让我们在这条经过O的平行线上任意选择一个点P，并将直线OP分别投影到x、y、z轴上的点A、B、C。则所要指定的射线的三个方向余弦分量定义为(L，M，N)
注意，在任意射线的三个方向余弦分量中，只有两个分量是相互独立的，因为我们有下面这个关系
由上式可得
假设z轴是光轴，同时假设要指定的射线位于靠近z轴的近轴区域。近轴光学或一阶光学的区域的定义是光线足够靠近光轴，以确保光线角度和高度(L,M,x，y)是一阶标准下的小数，对于变形光学系统的所有表面，其平方和向量积都是可以忽略的。
在近轴区域，由于L和M很小，我们可以将上述方程展开为二项式级数
对于一阶近似，可以忽略上述方程中的二次项，得到N=1，OC=OP。
因此，在近轴区域我们的第①个等式可以变成如下：
这里，
分别是OP’,OP”投影对于光轴z的夹角的正切值。
由上述讨论，我们可以得出以下结论:在近轴区域，任何射线的方向余弦等于z轴形成的角度的正切和该射线在各自的x-z和y-z截面上的投影。
因此，傍轴近似条件是
通常采用线性近似的方法对傍轴光线进行建模。若傍轴光线与光轴之间形成的入射角为θ,由于
，sinθ和cosθ可被线性化。即根据线性近似方法，
该近似结果成为设计透镜的理论工具之一。
相关文献：
《几何光学 像差 光学设计》（第三版）——李晓彤 岑兆丰
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