在本视频中，我们将使用Moku:Lab来演示锁相放大器的基本原理。锁相放大器是实验室中最常见的仪器，可以提取出淹没在强噪声背
景中的已知微弱信号。这个视频分为上下两部分，在第一部分中，我们将介绍外差法的基本原理，并讲解它在锁相放大中的应用。在第
二部分中，我们将介绍锁相放大器的两个重要可调节参数：相位和低通滤波器带宽。
Part 1
在本视频中，我们将使用Moku:Lab来演示锁相放大器的基本原理。锁相放大器是实验室中最常见的仪器，可以提取出淹没在强噪声背
景中的已知微弱信号。
这个视频分为上下两部分，在第一部分中，我们将介绍外差法的基本原理，并讲解它在锁相放大中的应用。在第二部分中，我们将介绍
锁相放大器的两个重要可调节参数：相位和低通滤波器带宽。
让我们开始视频的第一部分。外差法的目的通常是把一个频率区间的信号转换到另一个频率区间。通常情况下，是将一个高频率信号转
换到低频率区间，比如常见的超外差收音机。之所以需要把高频信号转换成低频信号，是因为高频的信号通常更适合于进行发射传播。
常见的射频信号都在兆赫甚至GHz区间。
然而，这些高频信号很难直接被模数转换器和一些其他的信号处理装置进行直接处理。因此，需要使用外差法对这类信号进行降频处
理。外差法的核心元件是一个混频器，它可以将两组信号进行乘法运算。
假设我们想要对一个正弦信号f1进行降频，我们会把它与另外一个正弦信号f2进行相乘，f2通常被叫做本机振荡器。由此得到的输出会
混有两个不同的频率，分别是f1和f2的和与差。之后，使用一个低通滤波器将高频成分滤出，我们将得到一个频率是f1和f2之差的低频
信号，通常也叫做中频。
让我们使用Moku:Lab展示一下这个过程。
首先，我们启动两台Moku，我们使用银色的Moku作为一个波形发生器，产生我们的信号与本机振荡。然后，我们使用黑色Moku的
锁相放大器进行外差混频。拿起iPad，我们首先连接到银色的Moku，启动波形发生器。我们产生两个正弦波，分别在1kHz和
1.1kHz，并同步他们的相位。
然后，我们切换iPad连接到黑色的Moku，并启动锁相放大器。锁相放大器中，有一个混频器。首先，我们使用内建的示波器来确认一
下黑色的Moku接收到了1kHz和1.1kHz的正弦信号。之后，启动混频器后的监测点。我们可以看到这个信号中包含了一个高频和一个
低频的成分。开启傅立叶变换功能，从频域来观察这个信号。我们可以看到两个峰，分别在100Hz和2.1kHz，f1与f2的和与差。
我们启动低通滤波器之后的观测点。一开始，我们的低通滤波带宽远高于2.1kHz，所以我们可以看到两个峰在基本一样的振幅。然
后，我们调低低通滤波器的带宽到100Hz。我们成功地将高频成分削减到了-55 dbm。回到时域，我们可以看到100Hz的中频信号。
让我们用数学方法证明一下这个结果。两个处于1kHz和1.1kHz的正弦函数，相乘并使用三角恒等式化简，我们得到的的新函数中包含
了两个原函数频率的和与差。之后，使用低通滤波器将两者是和滤掉，得到了100Hz的中频信号。这就是外差法的基本原理。
现在，让我们试想一下这样的情况：如果我们的信号与本机振荡器的频率完全相等，会出现怎么样的结果？
让我们使用Moku来测试一下。首先，我们拿两个iPad。用第一个iPad连接银色Moku波形发生器，第二个iPad连接黑色Moku的锁相
放大器。启动中频信号的检测点，开启频率，平均值，以及傅里叶变换。开始时，这个信号的频率是100Hz，平均值为0。下一步，我
们把1.1kHz的信号逐渐调到1kHz。在此期间，我们可以看到中频信号频率逐步降低，最后，变成了一个直流信号。而平均值从0瞬间
上升。
让我们用数学方法证明一下。将f1换成一个1kHz的信号，通过同样的计算，我们得到的信号会包含一个直流信号，以及一个高频信
号。将高频信号滤出，我们会得到一个与原信号强度成正比的直流信号。像这样，通过使用一个与信号频率相同的本机振荡器来检测信
号，并得到原信号的强度，这就是锁相放大器的基本原理。
为什么锁相放大器可以给我们的测量带来提升？一个最重要的原因是因为1/f噪声的存在。如图黑色线所示，1/f噪声是与频率成反比
的。低频区间的检测有比高频高很多的本底噪声。因此，如果我们可以将我们的源信号调制成一个高频信号，再进行检测，可以非常有
效的避免1/f噪声。
调制之后，我们应使用一个带通滤波器将我们所需的信号滤出，并得到其振幅。然而，在实际使用中，一个及窄带宽的滤波器非常难以
实现。另外，用带宽滤波器每次变换频率，都需要重新更换滤波器。
因此，我们使用将信号与本机振荡器进行混频的方法，将信号变频到直流区间。然后，使用一个低通滤波器，将信号滤出。这个过程也
就做解调。而调制解调的过程就是锁相放大器的基本运行原理。
Part 2
在第一部分中，我们介绍了外差法(heterodyne)，调制解调等锁相放大器的相关概念。在这一部分中，我们将介绍锁相放大器的两
个重要的可调参数，相位(phase)以及滤波器带宽(filter bandwidth)。
首先，我们来看一下相位对测量的影响。在第一部分中，我们的演示是基于信号与本机振荡器之间没有相对的相位差。相位差的存在会
对测量带来什么样的影响？让我们用Moku:Lab来测试一下。
我们将使用银色的Moku作为波形发生器来产生我们的输入信号，黑色的Moku作为锁相放大器。在这个实验中，我们将使用锁相放大
器的内部时钟来产生本振信号。这样我们可以方便地调节本地振荡器的相位以实时观察结果。
为了保证两台Moku的内部时钟同步，我们通过BNC线连接两台Moku的10MHz同步信号。然后，使用银色的Moku产生一个1kHz的
正弦信号，连接到锁相放大器的输入。
拿起一个iPad，并启动锁相放大器。将参考模式从外部（external）调整到内部（internal）。然后开启混频器前的两个观测点，确保
信号与本机振荡器相位同步。然后，将观测点放置于放大器的输出端，现在的信号大约为250毫伏。然后，我们通过滑动来调节本机振
荡器的相位。我们可以观察到，随着我们增大相位，信号减弱。
在相位为60度的时候，信号平均值变成了原信号的大约二分之一。让我们用数学的方法验证一下：我们有两个1kHz的正弦函数，相位
相差60都。通过相乘和低通滤波器，与之前相比，多出了一个cosine（60）的系数，等于二分之一。这与我们的观测结果吻合。
所以，想要得到最优的结果，保证本机振荡器与信号的相位相同非常重要。然而在实际使用中，这一点却常常难以实现。另外，任何微
小的相位浮动都会直接表现为锁相放大器信号强度的变化，从而降低输出信号的稳定性与信噪比。为了避免这类问题，Moku:Lab的锁
相放大器使用了双相位解调。让我们来看一下它是如何工作的。
在双相位解调中，我们使用两个不同的混频器。输入信号被复制，并分别输入到两个混频器中。两个混频器将信号与本机振荡器的频率
混频，然而两个本机振荡器之间有90度的相对相位差。这样，锁相放大器将同时在两个不同相位对信号进行解调，并得出两个输出，
通常并叫作X和Y（或者“同相”和“正交”分量）。
让我们算一下X与Y的相对强度，并用Moku:Lab验证一下。我们的信号f1，以及两个本机振荡器f2与f2’。我们将他们相乘，并滤掉高
频组分。我们可以看到我们得到的X与Y的强度分别为原信号的1/2与二分之根三。这个结果也与实验结果吻合。双相位解调是如何帮助
我们提高锁相测量的呢？
让我们想象一下在极坐标系中，我们有一个信号，振幅为R。当这个信号与cos60和cos150相乘时，我们等同于把这个信号分别投影到
了实轴与虚轴之上。这两个投影与原信号组成了一个直角三角形，其中R的振幅可以通过勾股定理，根号下X平方+Y平方来算出。而相
位差可以通过反正切arctangent Y除以X来算出。这样，我们就可以实时检测原信号的绝对振幅与相对相位了。
Moku:Lab的锁相放大器带有双相位解调功能。点击屏幕上的坐标切换按钮，可以在直角坐标系（X与Y）与极坐标系（R与Theta）之
间切换。在R与theta模式下，我们可以看到R并不受到相对相位差的影响。而theta则可直接用来观测信号与本机振荡器的相位变化。
让我们总结一下，在这一节中，我们通过Moku:Lab演示了相位对锁相放大器的影响，并讲解了双相位解调的基本原理。下面，我们来
讨论一下低通滤波器的带宽。在混频后，我们的信号会被低通滤波器滤掉高频组分。
滤波器的带宽有时也可表述为时间常数，两者可以通过图上这个公式进行转换。理论上，带宽越小，信号的选择性就越高，信噪比也应
该越好。然而，当带宽过小时，仪器对信号变化的响应速度也会大大降低。所以，并不是在所有情况下都应该使用极小的带宽。如果信
号本身在频域中分布就比较宽，一个极小的带宽可能将一部分信号也滤除掉，从而使信号失真。让我们使用Moku:Lab来观测一下这个
现象。
首先，我们使用iPad连接到银色的Moku，启动波形发生器。开启调幅，并用一个10赫兹的方波对输出信号进行调幅。然后，我们连
接到黑色的Moku，启动锁相放大器。打开输入监测点，我们可以观测到1kHz与10Hz的两个组分。然后，打开输出监测点。我们可以
看到用1Hz的滤波器时，方波的形状几乎被完全移除。然后我们将滤波器的带宽调到10Hz，我们可以开始看到一些交流信号，然而却
还是很难看出方波的形状。在100Hz时，我们可以开始看到方波的大体形状。如果我们继续增长滤波器的带宽，方波的边变得越来越
陡峭。然而，当我们继续提高带宽，我们开始看到2f以及其他谐波组分。所以，在进行锁相测量前，我们很有必要对被测信号本身有一
定的了解，从而选择合适的调制频率，以及滤波器带宽。
以上就是关于锁相放大器的两个重要的可调参数，相位以及滤波器带宽的介绍。
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