本文通过之前讲的高阶双曲面及其曲面法线的方向余弦的公式来推导在近轴近似时，双曲面的一般式及其曲面法线的方向余弦。
变形系统系列（六）-变形成像的理想(一阶)图像模型
现在让我们看看变形系统能提供什么样的图像。为此，我们将为变形系统的理想行为定义一个图像模型。这个模型很重要，因为它可以通过建立一个参考来简化对这种系统的描述。模型应该与变形系统理想的现象一致，并且可以足够简单的观察到。
满足上述标准的光学图像几何模型将用来解释图像的主要特征。偏离理想像的的细节可以简单地用一个依于孔径(光阑)和视场(物体)变量的函数来描述。这个函数称为像差函数，用泰勒级数表示，级数中的每一项表示一种特定类型的偏离理想像的现象，称为像差。
为了构建我们理想的成像模型，我们将遵循Abbe的共线映射在两个空间之间:物方空间和像方空间。共线映射具有以下性质
1) 每个物点将被映射到一个唯一的像点;
2) 每个物面将被映射到一个唯一的像面。
由1)和2)我们可以得到，每条物方光线线都将被映射成一条唯一的像方光线。这个结果是根据两个平面的交点产生直线得出的。
由于成像系统几乎执行这些功能，我们将假设它们的现象，包括变形系统，可以用共线映射来描述。
在共线映射中，将物体空间中的点P（x，y，z）与像空间中的点P '（x’，y’，z’）联系起来的表达式为
空间变量x,y,z和x’,y’,z’是笛卡尔坐标系中的位置，参数a、b、c、d是常数。
由于变形系统具有双平面对称性，我们选择z轴和z’轴沿两个对称平面的交点作为光轴，因此每个曲面都将以它为中心。我们也让x’轴平行于x轴，而y’轴平行于y轴。通过这种方式，我们可以在两个空间中组成我们的坐标系。唯一尚未确定的是坐标原点的位置。
我们现在可以利用双平面对称条件来简化上述共线映射方程。根据上面的公式一，从双平面对称性要求出发，当x不变而y改变符号时，x’不变。对x和y的所有值都成立，只要
。由于双平面对称性，当x改变符号时，x’也必须改变符号，因此
。对于上面的公式二，我们同样可以证明
。从公式三中，我们注意到，由于对称性，当x和y改变符号时，z’不改变(z’独立于x和y)，这时需要
。考虑到所有这些要求，上面三式可简化为
通过将常数
提出来并重新定义常数，我们得到
上式就是变形系统的理想(一阶)图像模型。从这个模型中，我们知道除非
，不然成像是变形的。而x方向上的放大倍数为
y方向的放大倍数为
这两个放大倍数的比值通常称为系统的畸变比
因此，我们证明了在满足共线映射条件的情况下，变形系统确实可以形成变形图像。我们应该记住，在上面的化简中，我们没有对坐标原点在两个空间中的位置做任何限制，两个空间中的原点并不一定相互共轭。
上述开发的理想图像模型的一般特征是在一个变形图像中允许点对点映射的。
相关文献：
《几何光学 像差 光学设计》（第三版）——李晓彤 岑兆丰
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