Moku时间间隔与频率分析仪(TFA)功能升级，全新版本支持实时计算并可视化显示g(2)二阶关联函数，为量子光学、单光子探测及相关前沿研究提供更高效、直观的测量手段。邀您莅临"第三届超快科学与量子感知国际会议"展台交流试用!
Moku升级实时计算并显示g(2)二阶关联函数及新活动更新
摘要
Moku时间间隔与频率分析仪（TFA）功能进一步升级，在时间间隔测量精度与检测配置灵活性方面实现显著提升。全新版本支持实时计算并可视化显示g(2)二阶关联函数，为量子光学、单光子探测及相关前沿研究提供更高效、直观的测量手段。在本应用笔记中，我们将概述二阶关联函数及其物理意义。随后，我们将介绍如何使用Moku 时间间隔与频率分析仪进行配置并采集数据，说明如何使用其内置新增的分析功能来计算二阶关联函数。zui后，我们将演示两种不同的计算方法，并展示两者结果具有良好一致性。
1.背景介绍
经典光源与量子光源具有广泛用途，既可覆盖量子光学、量子计算等量子领域，也可以应用于激光干涉测量等经典场景。光源通常可按其发射的统计特性进行分类，例如：相干光源、热光源、混沌光源或量子光。相干光源以激光为代表，其相位稳定，发射光子的数量涨落服从泊松统计。热光源（如白炽灯或恒星）则由大量彼此不相关的辐射体共同发光，往往呈现出突发形式的发射特征。量子光源（如压缩光或单光子发射体）会表现出“反聚束（anti-bunching）”效应：当刚探测到一个光子后，紧接着再探测到下一光子的概率zui低。这是一种典型的量子效应，任何经典光源都无法产生。
2. 什么是二阶关联函数
二阶关联函数g(2)(τ) 用来回答一个问题：如果刚探测到一个光子事件，则过了 τ 之后再探测到下一个光子事件的概率，是比在“随机到达”的情况下更大还是更小。其中 τ=0 处的值尤为重要，因为它可用于推断光源在同一时刻发射多个光子的可能性。例如：
若 g(2)(0)>1，则光源倾向于成对发射光子。我们称为“聚束”，通常表明该光源具有热光源特征。举例来说，g(2)(τ=0)=2 表示：在总测量时长 T 内，与“任意时间延迟 τ ”对应的平均符合计数相比，时间延迟接近 0 的符合事件（事件对）数量是前者的两倍。
若 g(2)(0)<1，则光源倾向于以规律时间间隔发射光子，几乎不会在同一时刻发射超过一个光子。我们称为“反聚束”，是单光子光源所期望具备的重要特性。
若 g(2)(0)=1，则发射光子之间不存在相关性（即到达时间彼此独立）。这常见于相干光源，例如激光。
这三种情况的仿真结果如下面图 1 所示。
图1. 对泊松（随机）、聚束与反聚束三种情况进行的仿真结果如图所示。相干情形在整个时间跨距内始终保持在 1；而聚束与反聚束情形在τ=0 处分别趋近于 2 和 0。对于该图中的每一种情况，二阶关联函数均可以采用两种不同的方法计算得到。相关方法将在本应用笔记的后续章节中介绍。
为演示如何使用并计算 g(2)(τ)，我们先引入 Hanbury–Brown–Twiss（HBT）效应。在 HBT 实验中（见图 2），待测光源发出一串光子并进入一个50/50 分束器，分束器将单个光子分配到两条光路中的任意一路。两个单光子探测器（被标记为“A” 和 “B”）分别监测两条光路中光子的到达情况。两臂之间的任意光程差都会导致两个探测器接收到光子的时间出现相对延迟（时间偏移）。当探测器记录到一次光子事件时，会产生一个电脉冲并将其送入时间间隔分析仪（TIA）。TIA 的作用是对 A、B 两路的光子事件进行高精度时间戳标记与记录，用于后处理。正如我们将在下一节推导的那样，A 与 B 两路事件之间的时间关联性决定了二阶关联函数的取值。
图2. 典型的 Hanbury–Brown–Twiss（HBT）实验配置：对光电探测器 A 与 B 的输出信号进行测量。时间间隔分析仪用于记录从事件 A 到事件 B 的时间偏移（延迟）。
3. 量化二阶关联函数和重合率
二阶关联函数g(2)(τ)可表示为光子探测计数的乘积在时间上的平均值：
其中，nA(t)和 nB(t) 分别表示在时刻 t 与 t+τ 时，探测器 A 与探测器 B 上的光子探测事件率。符号⟨⋅⟩ 内的量表示对时间取平均，即：
在建立了 g(2)(τ) 的定量定义之后，下面我们讨论如何求得⟨nA(t) nB(t+τ)⟩。这对应于时间平均后的符合率，也可以理解为在时刻 t 探测到一个光子事件、并在t+τ 再探测到另一个光子事件的概率密度——且不论第1个事件来自哪一路探测器。这意味着，A 路出现一次初始事件后，B 路后续可能以级联形式依次出现第1个、第2个甚至第3个事件。在计算符合率时，这些情况都必须纳入统计。随后，将得到的各个 τ 值进行分箱处理并归一化，即可得到对⟨nA(t) nB(t+τ)⟩的预估。
4. 测量时间延迟直方图
HBT 实验的关键之一是时间间隔分析仪，它负责采集探测到的光子事件并生成时间间隔直方图。正如图 3 所示，Moku 时间间隔与频率分析仪可针对 HBT 实验配置并进行测量。在该实验中，单光子探测器（SPDs）A 与 B 分别接入 Moku 的输入 1 与输入 2。时间间隔与频率分析仪可用于检测 SPDs 输出的脉冲信号，其中输入 1 作为事件检测的开始，输入 2 作为事件检测的终止。有关如何配置 Moku 以进行 HBT 测量的更多细节，请点击“阅读原文”参阅我们关于该部分内容的配置指南。
5. 数据分析
假设我们已经获得由时间间隔与频率分析仪采集到的时间间隔直方图。我们将该分布态势记为 k(τ)，它记录的是：对某一路中的一个光子事件，在另一路中找到其后出现的第1个光子事件，并取这两次事件的到达时间差。用伪代码表示为：
正如上一节所述，k(τ)仅对应第1阶段延迟的概率密度函数。尽管k(τ) 在形式上看起来与⟨nA(t) nB(t+τ)⟩相似，但它只包含一阶贡献，没有将因更长事件级联产生的光子纳入统计。举例而言，到达时刻为t+τ1+τ2或t+τ1+τ2+τ3的光子事件不会被计入。
随后，将这些 τ 值进行分箱处理以生成直方图，并进行适当归一化，使得当某一延迟值下 g(2)(τ)=1 时表示该延迟值下不存在关联性。尽管该方法直观且直接了当，但其计算规模扩展性较差，因为需要将每一个事件 A 与每一个事件 B 进行比较，计算量为 O(NA×NB)。当事件发生率较高时，这一运算量会迅速变得非常庞大。因此，这样很难在硬件上实现实时计算。
所以 Moku 时间间隔与频率分析仪采用了另一种替代方法来实时计算 g(2)(τ)，该方法更利于发挥 FPGA 的性能优势。其核心是对 k(τ) 进行高阶自卷积，得到一组分布 k(n)(τ)。其中 k(n)(τ) 表示：在一级联光子事件序列中，相对于初始触发事件，后续第 n 次光子事件出现在延迟 τ 处的概率密度。换言之，它对应于从初始光子事件到第 n 个后续光子事件之间的延迟分布。将所有阶次的贡献叠加后，得到在初始触发之后、延迟为 τ 处观测到光子事件的总概率密度 G(τ) （不区分来自第几次后续光子事件），其与下式所示的无限求和成正比 [1]：
该求和关系式可以理解为对彼此互斥的多种路径取“逻辑或”：它表示在延迟 τ 处观测到一次光子事件，可能来自后续的第 1 次事件、或第 2 次、或第 3 次，以此类推。每一项对应一种相互独立的可能性；将它们相加即可得到延迟为 τ 时的总到达密度。因此，
在下一节中，我们将以两种方式测量 g(2)(τ)：第1种是记录事件时间戳并通过全配对法计算完整的成对统计结果；第二种是使用Moku 内置的 g(2)(τ) 计算功能。
6. 使用 Moku 时间间隔与频率分析仪模拟实验并验证 g(2)(τ)
为仿真泊松事件分布，我们使用Moku:Pro 搭建了一套全数字电路实验系统。利用MiM - 多仪器并行模式，我们将Moku 的 FPGA 划分为四个仪器插槽，每个插槽分别部署实验所需的仪器功能。配置与连接示意图见图 4。
第二种方法中，我们对一阶事件直方图进行自卷积，可得到一个与前述定义的时间平均符合率成正比的量。为此，我们先配置时间间隔与频率分析仪，并通过get_data() 函数获取直方图数据；该函数会返回时间分箱列表，以及对应每个分箱计算得到的 g(2)(τ)数值。相关代码如图 10所示。
图10： 使用 Python 直接从 Moku 设备获取 g(2)(τ) 数据。
由于两种计算路径不同，卷积法与成全配对法在 g(2)(τ) 上可能会出现细微差异，尤其是在 τ≈0 处附近。卷积法使用由 Moku 得到的、经过分箱处理的直方图数据进行计算；而全配对法则对所有事件对组合进行显式计算。
这两种方法在数学上都是计算二阶关联函数的有效途径。对于大多数应用而言，它们会给出等效的结果。但也需要注意，在某些边界条件或特定类型探测器的配置下，两种方法之间可能会出现轻微差别
总结
二阶关联函数是一种用于评估光源的时间动力学的强有力工具；在量子光学应用中更是至关重要，其应用范围覆盖从加密通信到光子计算等方向。
Moku时间间隔与频率分析仪具备亚皮秒的数字分辨率且无死时间，用于精确测量事件之间的时间间隔。不仅支持单一界面对光子、频率和事件进行计数，还可以执行抖动分析和记录高分辨率原始事件时间戳，新升级版本增加了实时计算和显示g(2)(τ)功能。
在本文中，我们使用 Moku 时间间隔与频率分析仪通过两种方法计算了二阶关联函数 g(2)(τ)。第1种方法是利用时间间隔与频率分析仪内置的 g(2)(τ) 实时计算功能，通过卷积法生成该结果。第二种方法则演示了如何以精确时间分辨率采集带时间戳的光子事件，并使用 Python 进行计算分析，通过全配对方法计算 g(2)(τ)。将两种结果并排绘制后，我们验证了它们之间具有良好一致性。
无论是研究相干激光，还是单光子发射源，熟悉这两种 g(2)(τ) 的计算方法将有效帮助用户识别相对于理想行为的偏差，并对光源性能进行高效量化评估。
市场活动预告
Moku是由Liquid Instruments基于FPGA技术开发的多功能测试测量平台，结合高带宽模数转换器和数模转换器，实现信号生成、调节控制及测试分析等16+种仪器功能。新高性能型号Moku:Delta支持同时部署运行任意波形发生器、激光锁频/稳频器、锁相放大器、时间间隔与频率分析仪等高达8种仪器功能，不仅满足激光稳频与功率稳定要求，还可应对微弱信号的解调检测、光子计数，以及原子阵列的二维排布与精确寻址等多重测试测量需求，极大缓解了量子实验系统的复杂性。单台设备可配置超过二十亿种自定义测试测量方案，大限度地满足量子实验定制化需求。
我们将于1月26日携新Moku:Delta参加第三届超快科学与量子感知国际会议，诚邀您莅临展台交流！
参考文献
[1] Chen-How Huang, Yung-Hsiang Wen, and Yi-Wei Liu, “Measuring the second order correlation function and the coherence time using random phase modulation,” Opt. Express 24, 4278-4288 (2016).
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