本文主要列出几个已有的双曲率曲面类型的典型例子，以便我们可以检验这类非旋转对称曲面的基本概念。
变形系统系列（四）-双曲面型及其曲面法通用理论
为了形成变形图像，我们需要成像系统内具有双曲率的折射(或反射)表面。此外，我们需要双曲率曲面如此对齐，来保证曲面的对称平面与x-z和y-z平面重合。这保证了我们的光学系统将具有双平面对称性，因此我们可以在x-z和y-z对称平面上实现不同的放大倍数。将选择光轴作为对称平面的交点线。
现在让我们列出几个已有的双曲率曲面类型的例子，以便我们可以检验这类非旋转对称曲面的基本概念。
从数学的角度来看，最简单的双曲率曲面类型可能是一个椭圆抛物面，其表面矢高z在笛卡尔坐标下表示为
其中
和
分别是x-z和y-z对称平面曲率的主半径。平行于x-y平面的截面是椭圆，垂直于x-y平面的截面是抛物线。
从加工的角度来看，最简单的双曲率曲面类型可能是环形曲面，表示为
同样，其中
和
是对称平面曲率的主半径。环面的四阶近似矢高为
注意，当前变形系统设计中使用最广泛的双曲率曲面类型是圆柱面，这是环面的一种特殊情况，其中一个主曲率半径等于无穷大。四阶近似下圆柱面的表面矢高方程为
或者,
取决于主半径等于无穷大。
从光学测试的角度来看，最简单的双曲率曲面类型可能是椭球面，表达式为
该曲面的矢高方程表示为扁截面，四阶近似为
从上面已有的双曲率曲面类型的例子中，我们可以看到，对于这类曲面，表面垂度方程一般可以写成四阶近似的形式
在这里，
是两个主截面表面的曲率半径，
是具有长度尺寸的一定系数。注意，在这个方程中，我们允许
在四阶非球面这两个主要部分不同于
。
我们应该注意到，当主要部分是圆的形式(例如一个环面)，我们有
和
我们回到球面的特殊情况。因此，由上式我们通过适当选择
可以得到双曲率曲面类型的矢高方程，直到四阶近似。
现在，在完成了一般的双曲率曲面矢高方程之后，为了应用一般的射线折射方程，有必要得到入射点表面法线方向余弦的方便表达式。
我们把曲面方程写成
那么对于相邻点
它也在这个曲面上，我们会得到
由泰勒展开，可将上式改写为
从这个方程中我们可以看出，向量
垂直于向量
由于后者被限制在曲面上，所以向量
定是沿曲面法线在点
处的向量。
因此，曲面法线的方向余弦为
相关文献：
《几何光学 像差 光学设计》（第三版）——李晓彤 岑兆丰
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