计算成像通过对所有元素采取并行设计和联合优化的方法来平衡光学和电子的处理能力，各个元素不被认为是相互独立的。
2018年综述：计算成像（中）
4、计算成像
计算成像通过对所有元素采取并行设计和联合优化的方法来平衡光学和电子的处理能力，各个元素不被认为是相互独立的。
尽管在1990年前已经有应用计算成像概念的工作存在，但是，直到1990年代，成像界才将这些单独的成像问题解决方案视作是方法上的根本转变。计算正在成为成像的一个明确和不可或缺的部分。
最先涉及光学和计算联合的成像工作之一是Cathey作出的，他讨论了如何通过光学和信号处理的联合设计来提升分辨率或增强电子检测的图像。首先证明这种成像方法的优势的工作之一是Matic和Goodman作出的，他们发现，当对图像进行滤波的时候，滤波函数分布在光学和后端检测处理环节能够改善图像的噪声表现。Veldkamp在他的一篇论文中试图基于人眼的无长突神经层给予这个新领域一个名字，即，amacronics。无长突神经层对视觉信息先进行预处理，然后再传输到视觉神经。这个命名没有流行起来，可能是在这时期将该领域视为新事物还为时过早。
尽管如此，正如Cathey和Dowski的增大成像景深的开创性工作所证明的那样，1990年代中期，一小部分研究人员开始发表他们的工作，这些工作已经考虑到协同后端检测处理将光学信息明确编码。
这些活动促使本文的作者之一（JNM,第一作者）组织了一个陆军赞助的专题研讨会（第一次会议），以及，随后光学学会的第一次计算成像主题会议。新兴计算成像社区的增长也得益于杜克大学的Daivd Brady教授在1998年和2000年赞助的研讨会。
在第一次会议中讨论了如何称呼这种成像方法。第一次使用计算成像这个术语是在JNM为第一作者的文献（“Evolutionary paths in imaging and recent trends” Opt. Express 11,2093-2101(2003)）中，相关描述为：“一个集成的计算成像系统......是一个其设计集成了光学、光电子和信号处理的系统。系统性能是通过并行设计和联合优化来控制的，而不是顺序设计以及独立优化光学模块、焦平面光电子器件和后端检测算法。”在接下来的两节中，我们试图将这个定义放在更坚实的基础上。
4.1 定义
在章节2中，我们区分了感知和成像。为了定义计算成像，我们需要根据进行测量的位置和希望测量的源信息的位置之间的关系进行额外的区分。
当这两个位置一致时，我们称这种感知是嵌入的或贴近的。贴近感知利用换能机制感应和测量换能器所在位置的我们感兴趣的物理参数。比如用热电偶测量空间中一个点的温度，以及用表面轮廓仪与样品表面接触的探针扫描样品面型等。
当这两个位置不一致的时候，我们称这种感知或成像是对峙的（standoff，取相对而立的意思）或远程的(remote)。对峙成像涉及波通过空间传递能量和信息，而没有物质移动的现像。这篇综述虽然只考虑电磁波，但是机械波（如声波和地震波）和引力波也具有远程传递信息的能力。
因为电磁波在自由空间传播具有衍射的固有属性，因此，我们想要测量的物理参数的空间位置信息是被扰乱的。如图1所示，恢复这个信息需要在换能之前的前端系统进行处理，或者在后端换能过程进行处理。
根据上述定义，没有在检测前或检测后进行处理的感知或者成像系统是贴近的。但是我们不考虑这些。在这里，我们考虑使用换能前处理或换能后处理，或者两者都涉及的图像形成系统。
只使用换能前处理的系统是传统的成像仪器，它依靠光学元件来改变入射波前。这种变化试图解释衍射的影响，并恢复物平面的空间结构信息。正如前述章节所讨论的，这是历史上最早的成像系统。
第二类成像仪器没有设计前端，但是仍然有后端检测处理。这种系统最好的例子是雷达天线阵列，这些阵列工作在电磁波谱的无线电频率带。无线电的波长量级使得制造透镜和机械控制是相当昂贵的，但是，高速电子放大器可以让从天线阵列接收的信号直接被转换和处理。因此，空间信息可以在后端检测过程中用模拟和数字信号处理的方式来恢复。生物医学里的超声和地质学里的地震波成像都是类似的成像系统，它们可以通过直接处理换能器的信号来成像。
最后一类成像仪器是既使用换能前处理，又使用换能后处理的系统。我们在这里将这类仪器的讨论限制在换能后处理是由人类设计和制造的系统。这一类成像仪器可以追溯到摄影感光乳剂替代人类视网膜作为一种换能机制的时期。在摄影里，通过化学处理的方法控制感光乳剂的对比度和动态范围，我们可以进行一定程度的图像处理。光电换能机制可以实时的进行类似的操作。然而，半导体集成技术的发展，促进了探测器技术的发展和换能后计算的成熟。
1970年代到1980年代，研究人员还是分开考虑波前处理和图像处理。随后，大家才注意到将波前处理和换能后计算的联合设计视作提取波前信息的唯一方法。
4.2物理和数学基础
对于成像的的讨论需要一定的物理基础。图2是一个一般化的成像系统，包含了换能后处理。光学传递链包括物的波前传输到成像系统，波前被成像系统的光学模块采集和变换。这个系统使用焦距为f的透镜将输入的二维物体o(x,y)在探测器上形成输出图像i(x,y)。这个物体可以是自发光的，也可以是被外部光源照射的。图2展示的是物体被外部光源照射。光瞳函数P(u,v)表示光学系统对物体施加的变换。光瞳函数最简单的形式是具有有限尺寸的通光孔径，然而，更复杂的结构也是可能的。
为了分析图2的系统，我们需要注意探测器上波前的加权叠加是成像的本质。自发光或被照明的物体上的不同空间位置光谱信息被波前所携带。光源的物理性质和物体决定了这些信息是如何被波前编码并在探测器上进行换能转换。
如果物理过程中生成的两个波前是相关的，那么这两个波前可以相干的叠加，即振幅和相位都叠加。如果这个过程是不相关的，那么波前不相干，则是能量的叠加。
波前由空间和时间相干性来描述。同时从两个不同空间位置发射出的两个波前相关，视作光源的空间相干性。空间相干性与光源尺寸的大小有关，空间上尺寸小的光源相比大的拓展光源有更高的空间相干性。时间相干是指从同一个位置，不同时间发射的波前的相关性。
需要注意的是，在除发射源之外的平面中测量的发射波前的相干性可能与源的相干性不同。尽管如此，在下文中，我们将参考源平面的相干性。
接下来的分析基于上述对相干和成像的描述，并且假设光场是一个标量场。符合这些要求的关键点是满足近轴近似。我们的分析进一步假设成像波前是由拓展光源照射物体生成的，对于自发光物体（如星星辐射整个电磁谱，热发动机主要辐射红外谱）只需要做一些小的改动。对于可以控制照明光源的成像，我们称为主动成像。相反的，对于不能控制光源的成像，我们称为被动成像。
根据图2，我们假设物体o(x,y;v)被多色的空间结构光源
时间频率v=c/λ，λ是波长。对透射照明物体，
是光源
的傅里叶变换。对于自发光的物体，
仍然适合描述物体。
代表能量与波长相关的随机光源，
描述物体的物体和几何特性，是光频率（即波长）的函数。
给定光瞳面的传递函数
，成像平面的场是透射波前和相干扩展函数（coherent spread function, CFS）p(x,y)的卷积。p(x,y)是
的逆傅里叶变换
在这里，**表示二维卷积。如果我们假设一个简化的坐标，即fλ=1，f是图2中透镜的焦距，u和v是归一化的空间频率，并且
入射到探测器上的时域信号
是光源的所有频率分量的和：
一个无穷小探测器置于点(x,y)处，在曝光时间内的信号响应为
其中R(v)是探测器的光谱响应，它的值是实数。常数κ是一个比例因子，用于将被积分的入射电磁波场量转化为探测器的输出量。得到方程（5）需要做两个假设：一是波前是标量场，二是物体是一个平面。如果我们假设物体和光瞳函数不是频率（即，波长）的函数，那么探测器在整个检测谱带内的响应都是一样的，则：
函数Γ(x1,y1;x2,y2)是相干函数：
它测量来自光源的光的干涉能力。
我们现在考虑两个相干的极限情况。在第一种情况，光源是空间相干的，且干涉条纹可见度始终是最大的，此时：
将方程（8）应用到方程（6）可得：
另一种情况则相反，光源是空间不相干的，干涉条纹可见度始终是最小的。在此情形下，相干函数为：
将方程（10）代入方程（6），得：
在方程（11）中，系统响应|p(x,y)|2是点扩散函数(PSF)。它的傅里叶变换H(u,υ)是光学传递函数（OTF）。OTF与光瞳函数
的二维自相关成正比：
出于简化考虑，常数比例因子被略掉，这对我们的分析只有很小的影响。尽管如此，OTF在其原点以统一最大值表示。
我们注意到，所有的真实光源都是部分相干的。大多数的被动成像是空间不相干的。如前所述，主动成像的特性取决于所用的光源。显微镜、计量、光刻都是理解和控制光源及其相干性特别重要的应用。
相干性对成像仪器的响应的影响如图3所示。图3(a)，成像系统的一个一维通光孔径由光瞳函数表示。其生成的sinc函数相干响应p(x)见图3(b)。图3(c)和图3(d)分别表示非相干响应的OTF和PSF。
图3(e)-3(h)分别表示二个一维通光孔径的光瞳函数、CSF、OTF和PSF。
由低通结构所支配是非相干响应的标志。实际上，不可能在一个非相干系统中生成带通响应。非相干系统获得的图像总是有一个大的低通偏置。对于通过合并多张非相干图像生成单张输出图像的系统而言，这会使得系统的噪声增大和动态范围减小。最终图像的噪声与总的图像偏置成正比。如我们在4.3节将讨论的，信噪比会影响图像的分辨率。
因为电子探测器是离散而不是连续的，方程（9）和（11）的连续波前通过采样和数字化改写为离散的数字形式 id (x,y)描述：
其中i(xm,ym)是探测器上面积为Ad的单个像素在一次曝光时间内接收的总能量，点集(xm,ym)定义了采样点阵。
将每个采样点的连续值离散数字化。大多数探测器阵列的采样点阵是矩形的，即：
其中
和
表示探测器沿x和y方向的像素间隔。
如果我们将探测器的无噪声测量值记为矩阵I，它的矩阵元素为：
相干和非相干成像系统采样和数字化的辐照度为：
运算符
是对每个矩阵元素求平方。
O是物o(x,y)的复振幅以字典排序后得到的矢量。如果物包含个Nx X Ny个元素，则O是大小为NxNy X 1的矢量。P是表示相干光学响应的矩阵，即P的每一列包含了对物空间中不同位置的点物的空间响应。因此，方程(16)和(17)的矩阵乘法实现了物和系统响应的卷积操作。如果系统是线性和平移不变的，P的列是彼此的平移表示，其中平移由列号决定。如果光学响应大小有限，采样时将有Np个非零元素，P的大小是(NxNy + Np - 1 ) X (NxNy)，检测到的图像大小为(NxNy + Np - 1 ) X 1。
探测器产生的辐照度测量M包含了采样、数字化、光子转化为电子时的各种噪声。如果我们将这些噪声合并成一个噪声项，图像测量是
其中n表示由探测时引入系统的噪声。
M进一步的被运算符处理得到信息I':
nT是后端检测处理产生的噪声，n'是整个图像过程的噪声。运算符T既可以是线性的，也可以是非线性的。
为了得到物和像之间的关系，我们做了好几个假设，包括物是平面的、准单色的标量波前。在这篇综述里，我们不会拘泥于这些假设，计算不仅可以被用去多色、三维、偏振成像，还可以用于提高成像系统的分辨率以及对非经典光学特性成像，如光子纠缠。在下一节，我们将讨论计算对光学设计的影响。
4.3、光学设计
我们定义一个理想的像是物的精确几何表示，即忽略放大率，从而
，P是单位矩阵。但是，我们知道真实场景下采集到的像都有模糊伪影。伪影来源之一是因为有限大小的孔径响应产生不理想的像。离焦和其它的几何像差、色散效应、相机抖动、大气扰动也都会产生模糊伪影。
使用计算成像校正光学像差最有名的实例之一是哈勃望远镜，它证明了计算成像在提高成像质量上的潜力，并且对计算成像界的一些早期工作产生了激励作用。在计算成像的帮助下，光学设计者们可以使用以下的方法来补偿成像中的不完美，它们是解耦、协同和集成。
4.3a 解耦
解耦设计是光学设计和后端检测处理各自独立的另外一种说法。传统的光学设计旨在最小化几何和颜色像差，从而使得PSF H尽可能的接近单位矩阵。后端检测处理被用来产生一个更好的几何图像估计。
在图像估计过程中，我们假设由H表示的光学系统是不变的，我们的目标是确定处理算法T，使得图像I'和物的辐照度|O|2之间的差异最小。联立方程（17）和（18），空间域测量M为：
经过处理后的I'是：
在没有噪声的情况下，如果H是可逆的，方程（21）的解为：
然而，H并不总是能够直接测量和求逆。如安防应用，方程（22）就是病态（ill -conditioned）的。而且，微小的测量噪声都能够严重影响最终的解。
如果我们假设噪声是白噪声和高斯噪声，T的最优解是维纳滤波器：
其中
是噪声的功率谱密度。其它的增强方法包括了迭代算法，如适用于PSF已知情况下的Richardson-Lucy法和适用于PSF未知的盲解卷积方法。
对于那些成像光学元件相当糟糕，但是成像环境可控的应用（如通过像生物组织这样的薄的散射介质成像、内窥镜中通过多模光纤成像等），我们可以通过测量系统对所有可能的输入空间位置的响应来校正H。有的研究人员基于此思路，使用移除传统的光学元件或故意用随机元件替代传统光学元件的方法来成像。
4.3b 协同
协同是指设计人员利用他在光学和处理方面的知识，发挥其各自的优势来设计系统。比如说，后端检测处理在反转几何畸变上有优势，那么我们可以让光学模块承担最小的畸变控制，把大部分光学资源放在色差的校正上。协同设计的准则是，设计人员基于以最小的代价获得最佳的性能的原则选择光学上或者计算上解决某个问题。
4.3c 集成
集成设计考虑成像过程中光学模块和计算的相互影响。目的是通过计算来提高光学模块的成像性能，或在维持或提高成像性能的前提下替换掉光学元件。不管是哪种情况，光学模块都被设计用于获取不同于传统光学的PSF，经过处理后，可以获得在某方面属性上得到提升的PSF。
参考方程（21），我们的目的是设计一个光学模块H和处理T，两者结合产生一个响应Z 。如果T是线性的。
光学-数字的联合设计，反应了图像形成的承载是跨域共享的这一个哲学理念。以一个红外成像系统为例。若要使得系统的调制传递函数（MTF，是OTF的模）在空间频率带上大于一个设定的阈值，用传统的光学设计方法需要2个光学镜片（因为单个镜片无法校正球差、像散和场曲）。然而，通过光学设计与后端检测处理联合优化，只需要承受轻微的噪声就可以只用一个镜片满足要求。
图4是一个相似的例子。设计目的是为了提高成像系统的噪声表现，前端光学部分用光学追迹软件通过迭代优化算法设计，后端检测部分使用维纳滤波器，评价函数使用均方误差。图4左侧是传统的设计方法，将前端和后端独立设计。图4右侧是通过将前端和后端联合设计。从图中明显可见，联合优化设计的方法更有效。
上述两个例子都是从物到像的一对一映射，求取期望的响应Z的。然而，这并不是必需的。在什么情况下联合设计相比传统设计更有优势？初步研究认为，在低信噪比的情况下，选择联合设计更佳。而对于光照良好的场景，其优势并不大。
基本的要素是，光学元件被刻意设计成不是对一个点进行响应（即不是产生关于某个通光孔径的OTF），而是设计成将信息编码到波前上。这样，波前经过测量后，可以经过后端处理提取出信息。下一节讨论信息理论的基本概念。
4.4、信息基础
物体的透射或反射波前记载着物体的信息，从方程（9）和（11）可知，有限入射孔径的成像系统不可能传输所有的入射信息。一个焦距为f、孔径是直径为D的圆形通光孔径的成像系统，在波长为λ时对点源的像是一个艾里斑。艾里斑的第一个零点定义为瑞利衍射极限1.22λf#。f-数是f#
尽管瑞利分辨率是表述成像系统分辨率的传统方法。我们在这里用它来衡量成像系统的自由度。如果一个相干成像系统的探测器平面最大线性尺度是Wd，则图像可分辨的点数S正比于：
S是系统的信息传递能力的基本限制，我们称其为空间带宽积(space-bandwidthproduct, SBWP)。
一个系统的空间带宽积是一个定值。由于非相干成像系统的OTF是光瞳函数
的自相关，所以非相干成像系统的空间带宽积是4S。但是后续的讨论会忽略掉倍数4，因为它对计算成像概念的影响很小。对于即将进行的讨论，重要的是认识到，在一个平面上使用资源来编码信息，会降低互补域中资源的可用性。
方程（26）的空间带宽积表示系统的信息容量上限。在波前测量过程中，随机噪声和采样噪声等会引入测量误差，从而减小了系统测量到的信息。
光学噪声是一个光子统计学函数，可以用泊松过程来表示。对于大的信号，泊松过程可以用高斯函数近似表示，其均值和方差等于或者取决于信号。因为噪声的大小与光子数的均方根有关，通过增加检测到的光子数可以提高信噪比。光子数的增加可以通过扩大通光孔径和延长探测器的积分时间（即增大曝光时间）等实现。但是这样会增大系统的尺寸、重量，并降低高时间频率的信息，因此并不总是可取的。
电子噪声是测量过程中探测器和相关的电子元件随机生成的电子，这些电子会叠加到测量到的信号上。从方程（13）我们可以知道，探测器是以一定的像素间隔对波前进行空间采样的。入射到探测器上的光子在一个像素上实现空间和时间的积分，生成一个空间采样的电信号。如果这个空间采样率不够大，就会产生欠采样（aliasing），可以建模为依赖于信号的加性噪声。
尽管已经有了各种各样的方法来评估图像质量，成像研究人员尝试在通信理论中寻找指导，以将图像质量用信息学指标来表示。Shannon（香农）定义了带宽为Bw，信噪比为SNR的通信通道的信息容量是：
对数符号表示信号加噪声的测量值包含的信息的比特数。
1955年，Fellgett和Linfoot提出了基于香农信息的度量作为替代传统的图像保真度量。1970年，Frieden由于想要理解噪声对图像复原的影响，建立了信息和图像复原能力之间的关系。类似于方程（27）的信息理论成像模型也被人推导了出来。受此启发，我们可以用探测器的空间采样率来确定带宽、物体功率谱密度，用系统OTF来确定信号，用测量噪声和欠采样确定噪声。随后，研究人员使用信息理论分析了成像系统，以探索诸如自由度、信道容量和最佳编码等主题。
鉴于计算成像是对一个期望量的非直接测量，凭借传统的成像保真度评价不足以评判计算成像的性能。计算成像的一个关键要素是设计一个测量X和后端检测处理来估计一个期望参数θ。对于一个给定的θ，从测量中得到特定采样X的概率是f(X;θ)。
设计一个θ的估计值
，如果这个估计值没有偏置，则期望值是θ。Cramer-Rao不等式规定了估计值的不确定性的下限
F(θ)是Fisher信息，
是期望。方程（28）提供了一种定量评估系统性能的方法。
因此，Fisher信息是参数估计准确度的一种度量，它依赖于可观测值的选择及测量。这与计算成像尤其密切相关。Fisher信息可用于评估编码测量的优势，并可根据测量来指导设计。比如，Fisher信息被用于从图像数据中估计一组有限的傅里叶系数。
计算成像的目的是优化每次测量中感兴趣参数的信息。这并不意味着增加波前所携带的信息，而是以测量后最小化参数估计不确定性的方式编码波前信息。通过统一设计测量过程和后端处理算法有利于达到这个目的。在光学和后端检测处理协同设计过程中需要重点考虑的是：编码操作是可逆的、对噪声是敏感的以及相关的无效空间需要被确认。下一节对计算成像的动机进行分类。
4.5 动机
确定了计算成像的元素后，我们现在定义了三个不同类别的计算成像系统，它们符合我们对间接测量的定义。这些类别以不同的动机来区分，即：
使用传统方式是无法实现的
解决维度不匹配的问题
降低成本
5、 动机1：传统成像力有不逮
有时候用传统方式成像在物理上不可行的。比如，对相干、量子纠缠、物体的光学相位这样的光学属性成像以及医学影像中使用间接的方式替代有创手术对人体内部器官成像等。这些都需要改变测量机制，并且都需要计算的方法来生成期望的图像。此外，这些计算成像系统的操作都是以物理学为基础的。尽管在完成所需的测量和必要的处理使用了技术手段，但没有一种技术能够实现直接测量感兴趣的参数。
5.1 相位成像
电磁波由电场和磁场表征，它们的振幅和相位是空间和时间的函数。电磁波频谱范围从无线电波（103Hz）到Gamma射线（1020Hz）。本文主要考虑的可见光和红外线在1014到1015Hz范围内。
相位在场景中物体的电磁波信息的编码上扮演了一个关键的角色。特别是在可见光区域，有些物体对可见光是透明的，只调制波的相位。即使是只调制振幅的物体，波在传播的过程中也会将关键的物体信息转换为波前相位。因此，相位的测量相当重要。
无线电波的相位借助于高速电子器件可以直接测得，但是可见光和红外光的相位在当前是没办法直接测量的。虽然直接测量不行，但是我们可以借助于计算的方法测量可见光和红外光的相位，即通过前端波前操纵和后端检测处理来提取相位。本小节讨论及对比光学相位可视化的经典方法和最近的通过先验信息和计算提取相位的方法。
5.1a 相衬显微镜
如果要成像的物体是透明的，且对入射波的相位产生轻微的改变（比如显微镜下对生物细胞成像），那么是有可能只通过光学处理来显现相位的。Zernike相衬显微镜就是基于这个原理制成。
相衬显微镜假设被成像的物体o(x,y)是
如果没有调制的偏置项相移π/2，即在图2的傅里叶平面上使用轴上相位滤波器，则检测到的图像的辐照度是
图5是Zernike对比传统明场显微镜图像（a）和相衬显微镜图像（b)。这里需要重申一下，因为相衬显微镜是通过在光瞳平面放置相位板来直接显现相位，没有进一步的计算处理，因此，这只能算光学处理，而不是计算成像。
5.1b 干涉度量和全息
传统的测量光学相位的方法是将相位转换成可以测量的强度分布。这需要一个参考光波与从物传播而来的波前进行干涉，在测量平面上产生可测量的干涉条纹。如果测量平面上的参考光波r(x,y;t)为：
待干涉的信号波为：
它们的叠加为：
记录的信号h(x,y)与叠加
的能量成正比
方程(35）描述的干涉条纹模式是场景相位θs(x,y)的编码表示，场景相位可以通过后端检测的相位解包裹求出。
在电子计算机使得相位解包裹算法成为常规方法之前，全息术不仅提供了一种场景相位可视化的方法，还提供一种可视化产生相位的场景的方法。Dennis Gabor于1948年发明了全息术，其原本目的是为了提高当时新兴的电子显微镜的分辨率。Gabor的全息术通过改变测量的方式实现其目的，这很符合计算成像的哲学。
使用共轭参考光照射记录下的全息图h(x,y)，得到目标场景o'(x,y)的像
轴上图像的相位共轭特性（上式第二行最后一项）表明，这个像是实像。从场景发散的波现在正汇聚到像上，其它的图像元素包含高的空间频率。
如图6所示，Gabor的方法依赖于自干涉。因此，方程（36）中的三个像是彼此重叠的。
离轴全息（见图7）的发明可以将三个像分离。
此外，数字电子处理技术的发展使得全息光学记录和离轴全息图回放都可以通过数字电子处理技术完成。数字电子处理记录推动了计算生成全息、衍射光学的发展。数字电子处理回放推动了数字全息的发展。第一次计算重建全息图由摄像机拍摄，采样阵元为256X256，在PDP-6计算机上用快速傅里叶变换算法完成傅里叶变换。性能与胶片可媲美的探测器阵列的进一步发展，使得数字全息术成为了一种至关重要的成像技术。
5.1c 从强度复原相位
计算成像对从测量结果中估计光学相位产生了重大的影响。在1950年代，信息理论开始影响成像科学，研究人员列举了由有限孔径成的像中包含的自由度。这一方法不同于传统的、更物理的产生瑞利分辨率极限的方法。尽管理论上有限大小的物体具有无限的带宽，但是它们的像的带宽会受到自由空间传播和成像光学元件孔径的限制。由此可知，大多数重要的图像信息是包含在少量的主要特征函数里的。
最初，这些结果只是数学上的概念。然而，随着计算工具的发展，数学概念变成了算法约束。这些约束定义了一组函数，从这些函数中可以找到一个解。这种方法催生了第一个实际的相位复原算法。
误差减小算法如图8（a）所示，使用单个强度测量，在图像和傅里叶域不断迭代约束，最终生成一个满足所有物理限制的傅里叶相位。在第k次迭代，对物体的估计值gk(x,y)做傅里叶变换，傅里叶变换的结果强制符合已知的傅里叶模，然后将其逆傅里叶变换生成图像g'k(x,y)。最后对g'k(x,y)执行物体域限制生成新物体估计值，完成迭代。
区域R包含了
满足限制的所有点。
图8(b)的输入输出算法原理与误差减小算法有些许不同。它不需要严格满足物体限制，而是在图像域g'(x,y)减小误差来估计物体。
是一个常数。两种不同的输入输出重建结果见图9。
我们注意到，这里介绍的技术都尝试通过结合先验信息或者特定的域限制来求解一个病态的逆问题。相衬显微镜限制成像类别为透明且相位扰动小的物体。而全息对物体类别没有严格限制，它使用时间和空间都相干的参考光束与物体的场发生干涉，然后用光学或者数字重建的方式重建相位。最后，在相位复原中，使用相干光源进行强度测量，并在后端处理中应用基于物理学的约束（如非负性、稀疏性等）来估计相位。
5.2 量子成像
章节4的讨论是基于经典的电磁波理论的，除了这节讨论的量子成像外，所有的成像系统都满足这个假设。当考虑光的非经典特性时，新的成像机会开始出现。
当一个光子的量子态依赖于另一个光子的状态时，量子光子纠缠就出现了。类似于经典波前之间的相关奠定相干成像和非相干成像的基础。量子态之间的相关可以被用于探索新的成像系统和对这些量子态进行成像。最近的研究还表明，传统的光场特性，如相干和偏振，也展示出了纠缠特性。
鬼成像（coincidence,or gost imaging）使用相关光场对不处于成像系统中的物成像。如图10(a)所示，一个光源产生一对光子，各自通过不同的光路。一个光子通过只有物体没有成像光学元件的光路，被一个大的单像素探测器（称作bucket探测器）接收。另一个光子通过只有成像系统没有物体的光路，被二维探测器阵列接收。通过仅保留与bucket中的光子一致的检测光子来生成物体的图像。这是通过处理来自两个探测器的光子统计数据来寻找相关性来完成的。实际上，bucket探测器的时间输出标记了探测器阵列检测到的大量光子中实际携带图像信息的光子。这会产生类似于图10(b)所示的图像。
尽管第一次鬼成像实验利用了自发参数下转换（spontaneous parametric downconversion）中产生的光子空间纠缠，但几乎鬼成像的所有特征都可以使用热光(thermal light)复制。 尽管量子和热鬼成像之间有相似之处，但热鬼图像表现出很大的偏差，这会增加噪声并降低图像质量。事实上，这种区别已经导致了确定波前是否存在量子纠缠的测试。此外，受计算成像工作的启发，已经开发出新的鬼成像方法，利用后端检测处理的能力来改变所需的测量，从而提高成像性能。
5.3 体积成像
三维体积成像的理论是很难确定的，因为多个平面会对探测器平面产生影响。因此，体积成像的测量和重建算法开发都有难度。退而求其次，我们可以用传统的方法一次对物体的一个二维平面成像，通过不同物体平面的扫描获得体积数据。在这种成像过程中，通过光学手段消除不同平面之间的干扰是可能的，如共聚焦显微镜。通过后端检测处理也能消除这种干扰。扫描全息也能体积成像，但是我们不认为它是计算成像，因为图像是由一系列直接测量的结果生成的。
体积成像的基本问题是无法在可见光和红外光谱范围通过物体成像。这在医疗应用中尤其令人沮丧。自古以来，对人体的视觉检查已被用于对医疗疾病做出诊断。对于可直接接触的器官来说这是最自然的，如皮肤。但也可以通过自然开口，如嘴巴、鼻子、耳朵、眼睛和肛门。事实上，现代技术已经提供了越来越复杂的仪器，例如内窥镜、支气管镜和耳镜等，通过这些开口进入获取内部器官的详细图像。或者，可以通过手术切口插入成像仪器。事实上，配备手术器械的成像探头允许外科医生通过小切口执行手术，而以前需要更大的切口和全身麻醉。
在某些仪器中，图像通过一系列透镜或相干光纤束光学传输到体外。然而，电子相机的小型化还能够将光源、透镜和探测器集成到仪器的头端。在这种情况下，电子编码图像可以从通过超细电缆或无线连接将体内图像传输到外部。对于医学界而言，此类仪器提供了革命性的能力。然而，它们的工作原理依赖于直接而非间接的测量。从概念上讲，它们距离针孔相机仅几步之遥。
要透视身体，必须使用可穿透皮肤的波长。因此，X射线用于CT，RF辐射用于MRI。然而，这样的系统不使用类似光学透镜的东西产生图像。相反，他们使用编码，间接测量和计算来成像。
5.3a 计算层析
x射线于 1895 年发现，它可以透过大多数材料。它们的频率为3 × 1016 至3 × 1019，大多数材料对x光的折射率大约为 1。因此，当 x 射线穿过材料时主要是振幅的变化，而不是相位的变化，这种变化与所遭遇材料的密度成正比。当应用于医学成像时，由于骨骼和软骨的密度相对于软组织更大，X 射线图像中骨骼和软骨的对比度要高于软组织。
然而，单个 X 射线图像是三维空间变化的密度函数投影到二维探测器上。根据 Beer-Lambert定律，图像中的每个点都对应着X 射线沿一条路径的线积分，从根本上是不可逆的。这可以通过使用冗余和非冗余投影的多次测量来克服，从而重建成像体积。这就是断层扫描（来源于希腊语，切片记录的意思）的本质。
在 CT 中，为了形成身体的单个二维平面图像，X 射线源以平行或扇形光束输出围绕身体做圆弧移动。测量是在线阵探测器上进行的，该阵列与射线源同步移动。为了创建身体横断面切片的高质量图像，使用反投影处理一维投影。反投影算法基于 Johann Radon 1917 年的数学工作，他证明了通过二维函数的线性投影的傅立叶变换等价于在投影正交方向上通过二维函数的傅里叶变换的切片。CT 扫描仪与 CT 图像一起在图 11 中示意性表示。
5.3b 核磁共振成像
而传统的成像，包括 CT，是基于体积材料与反射、折射和吸收相关的特性，MRI 则基于氢的电磁特性，特别是在存在强静态和动态磁场的情况下，水和脂肪分子中的氢核与射频信号的相互作用。
MRI 系统由三个部分组成：静态磁场；产生一维空间梯度，方向随时间变化的动态磁场；以及产生射频脉冲序列的源。磁场通过设置体内氢核的共振频率来编码空间信息。每个射频能量脉冲都会短暂地激发原子核。原子核释放吸收的射频能量，被射频探测器所测量。检测到能量的频率表明它是从哪个空间位置传输过来的，检测到的信号强度与那个位置的氢核密度成正比。
尽管三维梯度允许在一次测量中对整个体积进行编码，但实际上这很难实现。因此，使用一维梯度序列扫描体积。因此，RF 测量值对应于磁场梯度方向上的线积分，并且使用后处理技术（例如滤波反投影）来恢复有关软组织特征的信息。
众多的自由度，例如，在静态磁场中，在磁场梯度的时域变化中，以及在探头 RF 信号的脉冲序列中，实现了各种可能的测量。例如，我们可以最大限度地减少测量时间（这对于在功能性 MRI 中创建实时视频至关重要），或在无需外部造影剂的情况下创建组织特异性成像模式。测量和强大的重建算法的联合设计是MRI的标志，这清楚地表明了 MRI 的计算理念。
参考文献：Joseph N. Mait, Gary W. Euliss and Ravindra A. Athale, “Computational imaging,” Advances in Optics and Photonics Vol. 10, Issue 2, pp. 409-483(2018)
DOI：https://doi.org/10.1364/AOP.10.000409
关于昊量光电：
上海昊量光电设备有限公司是国内知名光电产品专业代理商，代理品牌均处于相关领域的发展前沿；产品包括各类激光器、光电调制器、光学测量设备、精密光学元件等，涉及应用领域涵盖了材料加工、光通讯、生物医疗、科学研究、国防及更细分的前沿市场如量子光学、生物显微、物联传感、精密加工、先进激光制造等；可为客户提供完整的设备安装，培训，硬件开发，软件开发，系统集成等优质服务。
您可以通过昊量光电的官方网站www.auniontech.com了解更多的产品信息，或直接来电咨询4006-888-532。
本文章经光学前沿授权转载,商业转载请联系获得授权。
展示全部 
展示全部
