线性时不变系统
线性时不变系统
如果系统既是线性又是时不变的，那么称为线性时不变系统，通常用线性常系数微分方程表示：
表示系统输出，
表啊是系统输入，
时与自变量时间t无关，
称为系统阶数
当系统是离散的，可以描述为
表示序列
在第个样点的值。有时人们也会写成
因为输出信号不仅与输入变量有关，而且与之前的输出变量有关，因此称为递归系统
还有一种系统，输出变量仅仅依赖于输入变量，因此称为非递归系统
1. 微分算子
微分算子定义
高ji微分算子定义
更一般的多项式微分算子（PDO）表示为：
因此一般的线性时不变系统可以更加简单的描述为
2. 连续时间LTI系统的响应
当输入信号恒为零的时候的LTI系统称为自由响应，或者是零输入响应。当仅有初始状态为零的情况下，称为强迫相应或者是零状态响应。一个系统的完全响应可以是零输入响应和零状态响应之和，即
。完全响应也可以看作是稳态响应和瞬态响应之和，稳态响应时不随时间趋于零或者区域无穷，瞬时响应则是会随着时间变化趋于零。
3. 瞬态系统指标
当突然给一个阶梯信号是，一些瞬态响应的指标：
过冲：输入为单位阶跃函数时，瞬态响应与稳定响应的Max插值
延迟时间：输入为单位函数时，响应达到稳态值的50%所需要的时间
上升时间：响应从稳态值的10%到90%所需的时间
稳定时间：输入为单位阶跃信号，响应稳定在稳态值的2%~5%所需的时间
4. 差分方程的移位算子
定义位移算子
第i阶位移算子
多项式位移算子表示为
因此差分方程可以描述为
5. 离散时间LTI系统
对于离散系统的解，也可以分为零输入响应（自由响应）和零状态响应之和，或者说时稳态响应和瞬态响应之和。
6. LTI系统特性
LTI系统的响应可以有单位冲激响应表示，是指LTI系统的特性完全有冲击响应决定。这一节回顾系统的几个重要特性，并根据LIT系统的冲击响应给出定义
无记忆：如果一个连续实际按LTI系统是无记忆的，那么
；如果一个离散时间LTI系统是无记忆的，那么
，其中K表示常量。如果K=1，系统就是识别系统。
因果：如果
，那么这个连续时间LTI系统是因果的；如果
，那么这个离散时间系统是因果的
稳定性：对于连续时间LTI系统的BIBO稳定性的充分条件是
其意义是冲激响应是可积的。对于离散时间LTI系统响应条件是
其意义也是绝对可求和的。
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