博览：2021 Photonics Research迭代自由曲面透镜设计用于光场控制

正文

博览：2021 Photonics Research迭代自由曲面透镜设计用于光场控制

技术背景：

光束转换器(transformer)用于将给定的入射光束转换为具有特定辐照度和相位(或波前)分布的输出光束。它在光刻、材料加工、激光或 LED 投影仪、光通信以及光检测和测距（激光雷达）中得到广泛应用。折射、反射和衍射光学元件都可用于光束转换器。常用的折射或反射光束转换器，设计时通常基于射线光学理论。设计问题主要由三种类型的方程约束：光束的能量守恒、以向量形式的斯涅尔定律(Snell's law)支配的光线追踪方程以及描述在输入和输出波前之间等光程的Malus-Dupin定理 。此外，对于制造问题，应考虑面型的表面连续性。

光束转换器的发展路线为从输入和输出光束保持平面波前且辐照度旋转对称分布到更一般的非旋转对称的情况，从近轴近似到非近轴情况。其中突出的理论有适用于近轴或小角度近似的最优传输 (optimal transport, OT) 理论，非近轴情况下设计问题用类型的非线性偏微分方程描述等。

当前不足：

当前缺少适用于非近轴情况，输入和输出均为复杂波前的自由曲面透镜设计方法。

文章创新点：

基于此，北京理工大学的Zexin Feng(第一作者)和Yongtian Wang(通讯作者)等人提出了一种新的基于迭代波前裁剪 (iterative wavefront tailoring,IWT) 的方法来解决自由曲面透镜设计问题，以产生具有复杂辐照度分布和相位分布的特定输出光束。这种方法可以简化公式推导过程，灵活地生成各种高精度的自由曲面光学结构。从而以简单、灵活和准确的方式使用自由曲面光学实现光场控制。并设计了一个双自由曲面透镜，用于生成具有复杂辐照度和相位分布的输出光束，该光束可以在后面一定距离处产生不同的辐照度分布。

原理解析：

（1）迭代求解

步骤 0：先从给定的输入光束信息中定义由单位输入光线向量 和输入波前描述的输入光线序列。迭代开始前，需要给定光线映射的初始估计,即由图1描述的出射位置和入射位置对应，前提是光线无交叉。

步骤1：从光线映射中，得到输出相位的一阶偏导数的对应数据，和。然后，根据方程(6)（见附录）确定输出光线序列。从输出光线序列，基于最小二乘法重建输出波前 。

步骤2：由于已经确定了输入光线序列和波前，以及输出光线序列和波前，因而可以计算双自由曲面和。计算是基于Snell定律和等光程的条件利用最小二乘法求解。

步骤3：得到双自由曲面的数据后，就可以确定s和t。我们还可以得到一个中间光线序列，从中我们可以使用最小二乘法重建一个中间波阵面。在这里， 用于区分方程(9)中的。

步骤4：我们将的数据插入方程(9)和方程(10)。以为初始值，我们数值求解MA方程。得到解后，我们可以基于方程(8)得到一个新的光线映射,。

步骤5：将新的光线映射代入步骤 1 以重复循环。跳出循环的判据可以选择为当前光线映射与前一个或一定数量的迭代之间的差异小于某一个阈值。

步骤6：得到满意的光线映射后，需要像步骤1一样指定其对应的输出光线序列和波前，并像步骤2一样重建最终的双自由曲面。

这种迭代过程可以使用于复杂光场控制的自由曲面透镜设计更容易实现。尽管需要求解一系列 MA 方程，但可以采用辐照度控制 IWT 方法的多尺度策略来加快计算速度。 

仿真结果：

1、自由曲面面型设计结果，左为第一个面型，右为第二个面型

2、非近轴情况下，本文方法和L2OT光线映射法的对比。左为本文方法。

3、近轴情况下，本文方法和L2OT光线映射法的对比，左为本文方法。

参考文献：Zexin Feng, Dewen Cheng, and Yongtian Wang, "Iterative freeform lens design for optical field control," Photon. Res. 9, 1775-1783 (2021)

DOI：https://doi.org/10.1364/PRJ.430221

附录：

一、参数化中间波前方程

考虑没有能量损失和无光线交叉的情况，输入平面和输出平面之间能量守恒，用微分形式描述

下标表示偏导数，其中

令自由曲面透镜中间的波前为

根据费马原理，关于x和y的一阶偏导数可以描述为

x和y都可以认为是独立变量的函数，根据链式法则，有

联合（2）和（3），得

令

则根据方程(4),可以将描述为

令单位输出光线矢量，在几何光学框架下，相位等同于光线，而光线得方向由相位的一阶偏导数决定，因此和相位的关系是

和可以通过共线关系联系起来，

其中，s表示之间的位移，而t表示之间的位移。将(5)代入(7) ，得

一般来说，都依赖于。对于输出光束波前为平面的简化情况，s和t都为零，难点主要在于处理。这样的问题类似于弯曲目标上的辐照度控制问题，其中z值不是恒定的。 对于更复杂的情况，输出相位难以解析表达。在这种情况下，与相位梯度直接相关的s和t很难用明确表示。

此处简化复杂得光场控制问题的解决方案是保留方程(8)右侧的s和t，并将它们视为u和v的函数。 方程（8）及其对u和v的微分被代入到方程(1) 消除两个变量。得到的方程是MA类型的二阶偏微分方程， 

其中系数依赖于及其一阶偏导数，以及x和y的二阶偏导数的函数 。重写方程(8) 作为向量值函数，，然后是方程(9)的一个非线性边界条件可以描述为

其中分别是的边界。需要注意得是，方程(9) 除非事先给出，否则无法求解。然而,和与镜头数据耦合。为了解决这个矛盾，需要引入迭代过程求解。 

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