首页  技术文章  3D成像机器视觉基础知识(四)张正友标定方法(张氏标定法)

3D成像机器视觉基础知识(四)张正友标定方法(张氏标定法)

发布时间:2020-07-23 10:09:26 浏览量:39


张正友标定方法是用于求解相机内参和畸变系数的经典方法。

我们以表示像素坐标,以表示世界坐标。张氏标定法利用棋盘格标定板进行标定。

利用相应的图像检测算法可以得到每一个角点的像素坐标。同时,张正友标定法规定,世界坐标系固定于棋盘格上,则棋盘格上的

任意一点 。因此,角点的像素坐标 对应的世界坐标系下的。利用这一关系求解得出相机的内参矩阵,外参矩阵和畸变参数。


张正友标定法求解内参矩阵和外参矩阵

先后思路:求解内参矩阵和外参矩阵的积-->求解内参矩阵-->求解外参矩阵。

单点无畸变相机成像模型为:



其中为尺度因子; 是像素坐标的齐次坐标;是相机的内参矩阵,包含仿射变换和透视投影;是外参矩阵,包含刚体旋转矩阵和平移变换矩阵是世界坐标的齐次坐标。


因为式可简化为:



其中,是旋转矩阵的前两列。同时为了简便将内参矩阵记为 

对于不同图片为定值;对于同一张图片为定值,外参矩阵为定值;对于同一张图片上的同一点,为定值,外参矩阵

为定值,尺度因子为定值。


求解内参矩阵和外参矩阵的积

将内参矩阵和外参矩阵的积记为 ,根据式,则有:



解上式可消去尺度因子,得:


 

由于尺度因子已经被消掉,上式对于同一张图片上的角点全部成立。

至此,角点像素坐标和对应的角点世界坐标系下坐标都是已知的。

当图片标定角点数量大于计算所需时,利用最小二乘法回归最佳的矩阵

至此,内参矩阵和外参矩阵的积已经求出。


求解内参矩阵

已知矩阵;同时是旋转矩阵的两列,存在单位正交关系。于是有正交约束方程:

 

且,由于的关系,可知:


 

带入可得:


 

,则为对称矩阵。可以先求出矩阵,再求出内参矩阵

同时,令:


则:


 

 


注意:由于为对称矩阵,部分元素出现了两次。

式可化为:


 


求解

令,


 

则:, 式可化为:


即:


其中,矩阵中的所有元素由 的元素构成,且已知,因此已知。

此时,我们只要求解出向量,即可得到矩阵。每张标定板图片可以提供一个的约束关系,该约束关系含有两个约束方程。但是,向量有6个未知元素。因此,单张图片提供的两个约束方程是不足以解出来向量。因此,我们只要取3张标定板照片,得到3个的约束关系,即6个方程,即可求解向量。当标定板图片的个数大于3时(事实上一般需要15到20张标定板图片),可采用最小二乘法拟合最佳的向量,并得到矩阵

根据式中的矩阵的元素和相机内参的对应关系,可以得到:


可以得出相机的内参矩阵:


求解外参矩阵

已知:;同时,我们已经求解得到了矩阵(对于同一张图片相同,对于不同的图片不同)、矩阵(对于不同的图片

都相同)。通过公式:,即可求得每一张图片对应的外参矩阵。