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CZT变换(chirp-z变换,chirp z-transform)

发布时间:2020-11-04 09:36:40 浏览量:192 作者:Paul

摘要

Chirp-z变换是Lawrence Rabiner在1968年对语音信号进行分析时提出来的,它可以将z平面的单位圆变成一个螺旋线逐渐地从单位原

点到单位圆内。信号谱分析可以在z平面上的螺旋线上实现,可以开始于任意一点,结束于另一任意点。


数字信号左傅里叶变换,频域的采样点数是固定的,若要更多的频率,需要在时域部分添加零,但同时带来的问题是消耗更多的时间。

当只是观察频域中的某一部分,又想看到更加详细的内容时,可以使用CZT变换。

离散傅里叶变换公式如下

表示一个离散的正弦波,基频时2π/N,k时一个整数,表示正弦信号的频率是基频的k倍。
傅里叶变化的频谱角度看,它的抽样点为 ,在坐标系下可以表示为


CZT_4

从上图可以看到,傅⾥叶变化的频率,是对⼀个单位圆上进⾏等间隔的抽样。若要看到更多 的细节,需要在不改变原始信号的情况

下,在周围补零的操作,增加信号的⻓度,如下所⽰,从⼀百个点增加到200个点,可以看到频谱的点数增加了⼀倍,考到的频谱曲线

会更加详细。

CZT_6

但是补零的操作会增加数据量,计算消耗的时间约更⻓,因此需要采⽤⼀种更加通⽤的形 式,只观察需要的部分。
傅里叶变化中的正弦波都是用来表示,这里可以采用来替代,其中

 是矢量半径的起始长度
 表示抽样点的起始位置
是点的抽样间距,当时,抽样点逆时针旋转,当时,抽样点顺时针旋转
可以表示螺旋线的方向,当螺旋线向内收缩,当螺旋线向外伸展,表示一个单位圆。傅里叶变换就是这种特殊情况。


采用这种方式的时候,通常采样的频率时螺旋型的,而且密度可以任意设置,观察的区域更加灵活

,相对于傅里叶变化,这是一种更加通用的方式

根据布鲁斯特等式,所以

表示卷积,计算卷积通常是先计算他们的FFT,然后求IFFT
若要在信号取样的点数为M,那么整个序列的长度应该为L≥M+N-1,在计算FFT的时

候,序列点数最好取2的m次方,所以L满足L=2^m,因此,上述两个式子可以具体表述为

举例
以一个Rect函数作为信号,演示CZT变换

对模拟信号进行傅里叶变换后得到频谱信息

若对信号进行采样,假设原始信号1对应1s,那么原来的信号长度为2s,采样的间隔为0.05s

傅里叶变换后得到的频谱是

横坐标每一格实际大小是10/81 Hz,最高频率是5Hz


如果要增加傅里叶变化后的分辨率,可以在信号两边填充零

横坐标每一格实际大小是10/801 Hz,最高频率是5Hz
补零不影响最高频率,只是增加频率的分辨率


CZT计算某一段的频谱
原始信号为

信号的总长度是81, 第一个点对应频率DC,81个点对应的相位应该是0到2[Pi]*80/81,我们取点1-20之间的区域作为放大的区域

因此基本的参数如下,原始的信号长度

n1=81

对应的最终相位是2[Pi]*19/81,假设需要的长度是

m1=200

那么抽样的分辨率是

起始位置为零,因此

A=1

数据的总长度是

L=m1+n1-1=280

因此另L=512


分别计算g和h


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